‫الجمهورية الجزائرية الديمقراطية الشعبية‬ République Algérienne Démocratique et Populaire ‫وزارة التعليم العالي و البحث العلمي‬ Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique ‫جامعة محمد خيضر بسكرة‬ ‫كلية العلوم و التكنولوجيا‬ ………….:‫قسم‬ ………..:‫المرجع‬ Université Mohamed Khider – Biskra Faculté des Sciences et de la technologie Département : Génie Civil et Hydraulique Ref :……………… Thèse présentée en vue de l’obtention Du diplôme de Doctorat en Génie Civil Spécialité : Modélisation Numérique des Géomatériaux Contribution à la modélisation des structures en Matériaux à Gradient Fonctionnel Présentée par : Hassina ZIOU Soutenue publiquement le 23/04/2017 Devant le jury composé de : Dr.Guettala A.Hamid Professeur Président Université de Biskra Dr. Guenfoud Mohamed Professeur Rapporteur Université de Guelma Dr.Belounar Lamine Professeur Examinateur Université de Biskra Dr.Tati Abdelouaheb Professeur Examinateur Université de Biskra Dr.Sedira Lakhdar MCA Examinateur Université de Biskra Dr.Maalem Toufik MCA Examinateur Université de Batna ‫بسم هللا الرحیم الرحمن‬ i DEDICACE Je dédie ce travail à Ma famille que je prie de trouver ici l'expression de ma reconnaissance, de mon profond respect et de mes sentiments les plus respectueux. Ainsi qu'a tous mes amis. ii REMERCIMENTS Voilà venue une section très importante... la section des remerciements ! ! ! Peut-être est-ce la plus difficile dans un manuscrit ! En effet, chaque personne qui y est citée mérite la plus belle phrase ce qui nécessite des réels talents littéraires... Ainsi, comme tout un chacun, je vais essayer de faire au mieux et que tous les gens qui me liront sachent que ces quelques lignes ont été écrites avec tout mon cœur. Je tiens tout d’abord à adresser mes profonds remerciements à Mr le Professeur MOHAMED GUENFOUD de m’avoir confié un sujet de recherche prestigieux et passionnant. Je tiens à lui témoigner toute ma gratitude pour son aide et sa rigueur scientifique. Ses encouragements constants et son amical soutien m’ont grandement aidé à l’achèvement de ce travail. J’exprime également toute ma reconnaissance à Mr MOHAMED HIMEUR, docteur à l’université du 08 mai 1945-Guelma-, qui a apporté un soutien scientifique constant à mon travail de recherche. Sa disponibilité et ses conseils avisés ont permis d’aplanir bien des difficultés. Je tiens à remercier profondément les membres de jury :  Monsieur A.Hamid GUETTALA, Professeur à l'Université de Biskra, d'avoir accepté d'examiner ce travail et de m'avoir honoré de présider le jury.  Monsieur Lamine BELOUNAR, Professeur à l'Université de Biskra, qui m'a fait l'honneur d'examiner ce travail et je lui en suis profondément reconnaissant.  Monsieur Abdelouaheb TATI, Professeur à l'Université de Biskra, qui a accepté d'être examinateur. Je le remercie très sincèrement.  Docteur Lakhdar SEDIRA, Enseignant à l'Université de Biskra, qui a accepté lui aussi d'examiner cette thèse. Je tiens à le remercier pour son extrême gentillesse.  Docteur Toufik MAALEM, Enseignant à l'Université de Batna, d'avoir accepté d'examiner ce travail Je tiens à exprimer ma profonde gratitude et mes remerciements aux enseignants du département de Génie Civil de l’Université de Biskra. Je voudrais enfin remercier toute personne ayant contribué de prés ou de loin à l’achèvement de ce travail. iii Publications En plus de cette thèse de doctorat, le sujet a conduit aux publications et communications suivantes:  Publications internationales 1. H. Ziou, H. Guenfoud, M. Guenfoud, ''Numerical modelling of a Timoshenko FGM beam using the finite element method''. International Journal of Structural Engineering 7(3), 239-261, 2016. 2. H. Ziou, M. Guenfoud '' Buckling analysis of functionally graded material beams subjected to Eccentric Axial Load '' (to be submitted). 3. H. Ziou, H. Guenfoud, M. Guenfoud, ''Free vibration analysis of functionally graded materials beam using a Finite Element Method '' (to be submitted). 4. H. Ziou, H. Guenfoud, M. Guenfoud ''A finite element for the static analysis of functionally graded material beam'' (to be submitted).  Publications nationales 5. H. Ziou, H. Guenfoud, M. Himeur , M. Guenfoud, ''Numerical modelling of an FGM beam using the finite element method''. Accepted Manuscript. Courrier du Savoir Scientifique et Technique (Biskra), 2017. 6. H. Guenfoud, H. Ziou, M. Himeur, M. Guenfoud '' Analyses of a composite functionally graded material beam with a new transverse shear deformation function ''. Journal of Applied Engineering Science & Technology (Biskra) 2(2), 105-113, 2016.  Communication internationale 7. H. Guenfoud, H. Ziou, M. Himeur, M. Guenfoud '' An exact beam finite element based on a new polynomial shear function '' (ACE2016), 12th International Congress on advances in civil engineering, September 21-23, 2016, Boğaziçi University, Istanbul/Turkey. iv  Communication nationale 1. H. Ziou, H. Guenfoud, M. Himeur, M. Guenfoud '' Etude du flambement des poutres FGM par la méthode des éléments finis '', CMG, 09 et 10 novembre 2015, BiskraAlgérie. v Résumé Les matériaux à gradient fonctionnel ou fonctionnellement gradués (FGM) sont une nouvelle gamme de matériaux composites ayant une variation graduelle et continue des fractions volumiques de chacun des constituants (en général, métal et céramique) à travers l’épaisseur, induisant des changements, en conséquence des propriétés thermomécaniques globales de l’élément structural qu’ils constituent. Ils ont été conçus pour pallier aux problèmes engendrés par des environnements thermiques sévères. L’analyse des structures en FGM nécessite de mettre en place des outils de modélisation du comportement mécanique de plus en plus sophistiqués, notamment, le calcul par la méthode des éléments finis est indispensable pour le dimensionnement et la vérification de ces structures complexes. Dans ce travail de thèse, un élément fini avec trois degré de liberté par nœud, a été développé, en utilisant les différentes théories de poutres à savoir: la théorie d’Euler Bernoulli (CBT) et la théorie de Timoshenko (TBT). Cet élément est destiné à l’analyse statique, l’analyse modale, et aussi l’analyse par flambement des poutres en FGM. La performance et la fiabilité de l’élément développé ont été évaluées à travers des tests de validation. Par ailleurs, des études paramétriques sont présentées pour souligner l’influence des différents paramètres sur les différentes analyses (statique, vibration, flambement). Ensuite, une nouvelle théorie à ordre élevé a été proposée qui prend en considération l’effet de cisaillement transverse afin d’analyser le comportement en flexion des poutres FGM. En plus, elle n'exige pas de facteur de correction de cisaillement, et donne une description parabolique de la contrainte de cisaillement à travers l’épaisseur tout en remplissant la condition de contrainte de cisaillement nulle sur les bords libres de la poutre FGM, une comparaison entre les théories d’ordre élevé a été établie. L'utilisation d'éléments à facettes planes (éléments triangulaires), pour discrétiser les structures coques FGM est l’approche qu’on a considéré. En ce sens, la géométrie des coques FGM peut être approchée en utilisant les éléments plans par superposition d’un élément de membrane, un élément de flexion et d’un élément de couplage. Ceci suppose, bien sûr que les phénomènes de membrane et de flexion sont couplés. La comparaison des résultats obtenus avec des solutions de références, a montré la performance et la précision de l’approche proposée. L’utilisation de cette dernière permet l’analyse des structures coque FGM avec une précision satisfaisante. Mots clés: Matériaux fonctionnellement gradués, poutre mince et épaisse, coque mince et épaisse, éléments finis, analyse statique, analyse dynamique, flambage. i Abstract Functionally graded materials (FGM’s) are a new kind of composite materials which have a gradual and continuous variation of the volume fraction of each component (usually metal and ceramic) through the thickness direction, leading to changes of global thermomechanical properties of the structural element they represent. They were designed to overcome the problems caused by severe thermal environments. Analysis of FGM structures requires to establish tools for modeling the mechanical behavior of increasingly sophisticated, including the calculation by the finite element method is essential for the design and verification of these complex structures. In this thesis, a finite element with three degrees of freedom per node has been developed, using different beams theories namely Euler Bernoulli beam theory (CBT) and Timoshenko beam theory (TBT). This element is intended to the static analysis, modal analysis, and also the analysis of buckling FGM beams. The performance and accuracy of the developed element were evaluated through validation tests. In addition, parametric studies has been presented to highlight the influence of various parameters on the various analyzes (static, vibration, buckling). Then, a new higher order shear deformation beam theory have been proposed that takes into account the transverse shear effect to analyze the bending behavior of FGM beams. In addition, it don’t need to use shear correction factor and gives a parabolic description of the shear stress across the thickness while meeting the zero shear stress condition on the free edges of the FGM beam, a comparison between the higher order theories have been established. The use of flat elements (triangular elements) to discretize the FGM shell structures is the approach we have considered. In this sense, the geometry of FGM shells can be approximated using planar elements by superposing of a membrane element, bending element and a coupling element. This of course assumes that, the membrane and bending phenomena are coupled. Comparing the results obtained with reference solutions showed the performance and accuracy of the proposed approach. The use of this approach allows the analysis of FGM shell structures with satisfactory accuracy. Keywords: Functionally graded materials, thin and thick beam, thin and thick shell, finite element, static analysis, dynamic analysis, buckling. ii ‫مل ّخص‬ ‫المواد متدرجة الخواص أو المتدرجة وظيفيا هي مجموعة جديدة من المواد المركبة تمتاز بتغيرات تدريجية و‬ ‫مستمرة ألجزاء الحجم لكل من المركبين (عموما المعادن و السيراميك) على مدى السمك‪ ،‬وهذا ما يؤدي إلى اختالف في‬ ‫الخصائص الحرارية الميكانيكية للعنصر المكون للهيكل العام‪ .‬و هي مصممة لمقاومة المشاكل التي تسببها البيئات شديدة‬ ‫الحرارة‪ .‬يتطلب تحليل الهياكل المصنوعة من المواد متدرجة الخواص إلى أدوات إنشاء لنمذجة السلوك الميكانيكي على‬ ‫مستوى عالي‪ ،‬بما في ذلك‪ ،‬الحساب باستخدام طريقة العناصر المحدودة الذي أصبح أمر ضروري للتصميم والتحقق من‬ ‫هذه الهياكل المعقدة‪.‬‬ ‫في هذه األطروحة‪ ،‬تم تطويرعنصر محدود جديد مع ثالث درجات من الحرية لكل عقدة‪ ،‬وذلك باستخدام‬ ‫النظريات المختلفة للروافد وهي ‪ :‬نظرية أويلر برنولي ونظرية تيموشينكو‪ .‬هذا العنصر مخصص للتحليل الستاتيكي ‪،‬‬ ‫التحليل الديناميكي‪ ،‬و أيضا تحليل االتواء للروافد المتدرجة الخواص‪ .‬مقارنة النتائج المتحصل عليها مع الحلول المتاحة في‬ ‫المراجع أظهرت األداء الجيد و أثبتت دقة النموذج المقترح‪.‬من جهة اخرى‪ ،‬أجريت دراسة بارومترية إلظهار تأثير بعض‬ ‫المعلمات على مختلف التحاليل )االنحناء‪ ،‬االهتزاز وااللتواء(‪ .‬بعدها تم اقتراح نظرية ترتيب عالية جديدة تأخذ بعين‬ ‫االعتبار تأثير القص العرضي لتحليل سلوك االنحناء للروافد المتدرجة وظيفيا‪ .‬وباإلضافة إلى ذلك‪ ،‬أنها ال تتطلب معامل‬ ‫تصحيح القص وتعطي وصف قطعي مكافئ إلجهاد القص عبر السمك‪ ،‬في حين يكون إجهاد القص صفر على حواف‬ ‫الرافدة‪ ،‬أيضا تم إنشاء مقارنة بين نظريات الترتيب العالي‪.‬‬ ‫استعمال العناصر المسطحة (العناصر الثالثية) لتقسيم الهياكل القشرية المتدرجة الخواص هي المنهج الذي‬ ‫اتبعناه‪ ،‬في هذا المعنى‪ ،‬هندسة هذه الهياكل تقرب باستعمال العناصر المستوية بتركيب عنصر غشاء‪ ،‬عنصر انحناء‪،‬‬ ‫وعنصر اقتران‪ .‬وهذا يفترض بالطبع أن الغشاء و االنحناء في حالة ارتباط‪ .‬وبمقارنة النتائج التي تم الحصول عليها مع‬ ‫حلول المراجع تم إظهار دقة وأداء المنهج المقترح‪ .‬استخدام هذه األخيرة غالبا ما يسمح بتحليل الهياكل القشرية المتدرجة‬ ‫وظيفيا بدقة كافية و مرضية‪.‬‬ ‫الكلمات المفتاحية‪ :‬المواد المتدرجة وظيفيا‪ ,‬رافدة رقيقة و سميكة ‪,‬عنصر قشري رقيق و سميك‪ ,‬طريقة العناصر المنتهية ‪,‬‬ ‫التحليل الستاتيكي‪ ,‬التحليل االهتزازي‪ ,‬االلتواء ‪.‬‬ ‫‪iii‬‬ Table des matières Résumé i Abstract ii ‫ملخص‬ iii Table des matières iv Liste des figures ix Liste des tableaux xiv Liste des notations xvi 1. Introduction 1 2. objective de la thèse 2 3. Plan de la thèse 2 CHAPITRE 1 : LES MATERIAUX COMPOSITES ET LES MATERIAUX A GRADIENT FONCTIONNEL 1.1 Introduction 4 1.2 Classification des matériaux composites 5 1.3 Constituants des matériaux composites 5 1.3.1 Les fibres 6 1.3.2 Les matrices 6 1.3.3 L’interphase 7 Considérations d’usage des matériaux composites 7 1.4.1 Les avantages 7 1.4.2 Les inconvénients 8 1.4 1.5 Mécanismes de rupture des stratifiés composites à renforts de fibres longues 10 1.5.1 Rupture intra-laminaire 11 1.5.2 Rupture inter-laminaire 11 1.5.3 Rupture trans-laminaire 12 1.6 Délaminage et FGM 12 1.7 Idée générale sur le développement des FGM 14 1.8 Conceptions des structures FGM 15 1.9 Le gradient 17 1.10 Domaines d’applications des matériaux fonctionnellement gradués iv 18 1.11 Propriétés effectives des matériaux à gradient fonctionnel 19 1.12 Lois régissantes la variation des propriétés matérielles des FGM 21 1.13 Propriétés matérielles de la poutre P-FGM 22 1.14 Propriétés matérielles de la poutre S-FGM 23 1.15 Propriétés matérielles de la poutre E-FGM 23 1.16 Conclusion 25 CHAPITRE 2 : REVUE DES TRAVAUX ANTERIEURS SUR LA MODELISATION DES FGM 2.1 Introduction 25 2.2 Structure de poutre 25 2.2.1 Etudes sur les problèmes élastiques statiques des poutres FGM 25 2.2.2 Etudes sur les problèmes de vibration des poutres FGM 27 2.2.3 Etudes sur les problèmes de flambement des poutres FGM 28 Structure de plaque 29 2.3.1 Etudes sur les problèmes élastiques statiques des plaques FGM 29 2.3.2 Etudes sur les problèmes de vibration des plaques FGM 30 2.3.3 Etudes sur les problèmes de flambement des plaques FGM 31 Conclusion 31 2.3 2.4 CHAPITRE 3 : LA METHODE DES ELEMENTS FINIS 3.1 Introduction 32 3.2 Généralités sur la mécanique des milieux continus et la méthode des éléments finis (MMC et MEF) 33 3.2.1 Cinématique des milieux continus 33 3.2.2 Les conditions de compatibilité cinématique 34 3.2.3 Contraintes, équations d’équilibre et déformations 35 3.2.3.1 Etat de contraintes 35 3.2.3.2 Equations d’équilibre 37 3.2.3.3 Tenseur des déformations 37 3.2.4 Loi de comportement 37 3.2.5 Principe des travaux virtuels 39 v 3.3 3.2.6 Principe des travaux virtuels complémentaires 39 La méthode des éléments finis en déplacement 39 3.3.1 Discrétisation du champ de déplacement 40 3.3.2 Application du principe des travaux virtuels (ou principe des déplacements 3.4 3.5 virtuels) 40 3.3.3 Assemblage des éléments 41 La méthode des éléments finis en déformation 41 3.4.1 Hypothèse et démarche 42 3.4.2 Principe de formulation 42 3.4.3 Procédure de formulation 43 3.4.4 Ses avantages 44 Conclusion 45 CHAPITRE 4 : MODELISATION DES POUTRES EN MATERIAU A GRADIENT FONCTIONNEL 4.1 Structure de poutre 46 4.2 Modèle d’Euler Bernoulli 47 4.2.1 Analyse statique 47 4.2.1.1 Le champ de déplacement 47 4.2.1.2 Le champ de déformation et les contraintes normales 48 4.2.1.3 La position de l’axe neutre et les contraintes de cisaillement 48 4.2.1.4 Principe des travaux virtuel 50 4.2.2 Analyse modale 51 4.2.3 Instabilité au flambement 51 4.2.4 La formulation élément fini 54 4.2.4.1 Les fonctions d’interpolation 54 4.2.4.2 La matrice de rigidité 55 4.2.4.2.1 Partie membranaire 55 4.2.4.2.2 Partie couplage 55 4.2.4.2.3 Partie flexionnelle 55 4.2.4.3 La matrice de masse 56 4.2.4.3.1 Partie membranaire 56 4.2.4.3.2 Partie flexionnelle 57 vi 4.2.4.4 Construction de la matrice des contraintes initiales 4.3 Modèle de Timoshenko 58 4.3.1 Analyse statique 58 4.3.1.1 Le champ de déplacement 58 4.3.1.2 Les contraintes et les contraintes résultantes 59 4.3.1.3 La matrice constitutive généralisée 60 4.3.1.4 Le couplage axiale-flexion et l’axe neutre 60 4.3.2 La formulation élément finis 62 4.3.2.1 Les fonctions d’interpolation 62 4.3.2.2 La matrice de rigidité 64 4.3.2.2.1 Partie membranaire 64 4.3.2.2.2 Partie couplage 64 4.3.2.2.3 Partie flexionnelle 65 4.3.2.2.4 Partie de cisaillement 65 4.3.3 Analyse modale 66 4.3.3.1 La matrice de masse 66 4.3.3.1.1 Partie membranaire 66 4.3.3.1.2 Elément de poutre 66 4.3.4 Instabilité au flambement 67 4.3.4.1 Construction de la matrice des contraintes initiales 4.4 57 67 Tests de validation 68 4.4.1 Analyse statique 68 4.4.1.1 Poutre FGM simplement appuyé soumise à une charge uniformément répartie 69 4.4.1.2 Comparaison entre les théories 71 4.4.1.3 L’influence du paramètre du matériau p sur la flèche, la contrainte normale et la contrainte de cisaillement 4.5 73 4.4.2 Analyse modale 78 4.4.3 Analyse de stabilité initiale (flambement) 83 Etude paramétrique 86 4.5.1 L’effet du coefficient de Poisson sur l’analyse statique 86 4.5.1.1 Exemple 1 : poutre mince L/h=100 86 4.5.1.2 Exemple 2 : poutre à épaisseur modéré L/h=15 88 vii 4.5.2 L’effet de cisaillement transversal, des conditions aux limites, du paramètre du matériau, et du rapport d’élancement sur l’analyse dynamique 92 4.5.3 L’effet de cisaillement transversal, des conditions aux limites, du paramètre du matériau, et du rapport d’élancement sue l’étude du flambement 4.6 4.7 99 Etude de la flexion des poutres FGM en utilisant une nouvelle théorie à ordre élevé 100 4.6.1 Théories de déformation de cisaillement à ordre élevé 101 4.6.2 Résultats numérique 102 4.6.2.1 Le premier cas : L/h=100 103 4.6.2.2 Le deuxième cas : L/h=5 105 Conclusion 108 CHAPITRE 5 : FORMULATION D’ELEMENTS DE COQUES FGM A BASE TRIANGULAIRE 5.1 Introduction 109 5.2 Formulation des éléments de flexion 109 5.2.1 Elément de plaque mince « Pmi43 » 109 5.2.1.1 Caractéristiques 109 5.2.1.2 Cinématique 110 5.2.1.3 Conditions de compatibilité cinématique 112 5.2.1.4 Loi de comportement 112 5.2.1.5 Equation d’équilibre 112 5.2.1.6 Fonctions d’interpolation 113 5.2.1.7 Matrice de rigidité élémentaire 116 5.2.2 Elément de plaque épaisse « Pep43 » 5.3 117 5.2.2.1 Caractéristiques 117 5.2.2.2 Cinématique 117 5.2.2.3 Loi de comportement 118 5.2.2.4 Fonctions d’interpolation 118 5.2.2.5 Matrice de rigidité élémentaire 121 Formulation de l’élément de membrane 121 5.3.1 Elément membranaire « T43 » 121 5.3.1.1 Caractéristiques 121 viii 5.3.1.2 Loi de comportement 123 5.3.1.3 Matrice de rigidité 123 Formulation de l’élément de couplage 124 5.4.1 Matrice de rigidité de couplage membrane-flexion (coque mince) 124 5.4.2 Matrice de rigidité de couplage membrane-flexion (coque épaisse) 125 5.5 Formulation des éléments de coque FGM 125 5.6 Test de validation 128 5.6.1 Coque mince 128 5.4 5.6.1.1 Validation vis-à-vis du comportement membranaire 128 5.6.1.2 Coque console en FGM soumise à une charge ponctuelle à son extrémité 130 5.6.2 Coque épaisse 131 5.6.2.1 Validation vis-à-vis du comportement membranaire 131 5.6.2.2 Validation vis-à-vis du comportement flexionnel 132 5.6.3 Une coque carrée en FGM simplement appuyée soumise à une charge concentré ou répartie 5.7 133 Conclusion 135 Conclusion générale et perspectives 136 Références bibliographiques 138 Annexes 148 viiii Liste des figures CHAPITRE 1 LES MATERIAUX COMPOSITES ET LES MATERIAUX A GRADIENT FONCTIONNEL Figure 1.1 : Classification des matériaux composites [2] 5 Figure 1.2 : Rupture par flexion de différentes séquences d’empilement (a) Quasi-isotrope, (b) Unidirectionnelle, (c) ±45°, (d) 0°/90° [7] 10 Figure 1.3 : Rupture par traction de différentes séquences d’empilement (a) 0°/90° tissu, (b) Unidirectionnelle, (c) Quasi-isotrope, (d) 0°/90° [7] 10 Figure 1.4 : Mécanismes de rupture dans un stratifié [7] 11 Figure 1.5 : Evolution de défauts [8] 13 Figure 1.6 : Mécanismes de l’endommagement accompagnant le délaminage [9] 13 Figure 1.7 : Configurations des composites et des FGM 14 Figure 1.8 : Micrographie par microscope électronique à balayage d'une section transversale d’une billette en matériaux à gradient fonctionnel (Al2O3SUS304) 16 Figure 1.9 : Matériaux à gradient fonctionnel avec des fractions volumiques des phases constitutives graduées [14] 17 Figure 1.10 : Changement schématique de la microstructure dans un profile FGM 18 Figure 1.11 : Modèle analytique pour une couche de matériau à gradient fonctionnel : a) première approche; b) deuxième approche 19 Figure 1.12 : Variation continue de la microstructure : a) (schématisée) ; b) (photo) 20 Figure 1.13 : Géométrie d’une poutre FGM 21 Figure 1.14 : Variation de la fraction volumique à travers l’épaisseur P-FGM 22 Figure 1.15 : Variation de la fraction volumique à travers l’épaisseur (S-FGM) 23 Figure 1.16 : Variation du module de Young à travers l’épaisseur (E-FGM) 24 CHAPITRE 3 LA METHODE DES ELEMENTS FINIS Figure 3.1 : Cinématique des milieux continus 33 Figure 3.2 : Corps en équilibre 35 ix CHAPITRE 4 MODELISATION DES POUTRES EN MATERIAU A GRADIENT FONCTIONNEL Figure 4.1 : Elément de poutre FGM (Bernoulli) 47 Figure 4.2 : Un élément de poutre 54 Figure 4.3 : Convention de signe concernant N, M et Q 60 Figure 4.4 : La position de l'axe neutre sur une section de poutre rectangulaire 62 Figure 4.5 : Chargement appliqué à la poutre céramique-métal 69 Figure 4.6 : La variation de la flèche et de la contrainte normale non dimensionnelle en fonction de différents paramètres du matériau d’une poutre FGM soumise à une charge uniformément répartie 70 Figure 4.7 : L’évolution de la flèche totale de la poutre en fonction des divers paramètres du matériau pour (L/h=5) [a) TBT, b) CBT] 71 Figure 4.8 : L’évolution de la flèche totale de la poutre en fonction des divers paramètres du matériau pour (L/h=20) [a) TBT, b) CBT] 71 Figure 4.9 : La distribution des contraintes normales et des contraintes de cisaillement dans la direction de l’épaisseur pour L/h=5 72 Figure 4.10 : La distribution des contraintes normales et des contraintes de cisaillement dans la direction de l’épaisseur pour L/h=20 72 Figure 4.11 : La flèche maximale non dimensionnelle d’une poutre FGM simplement appuyée en fonction des différents paramètres du matériau, différents élancements et différentes théories [a)L/h=5, b) L/h=20] Figure 4.12 : Chargement appliqué à la poutre métal-céramique 73 74 Figure 4.13 : La distribution des flèches non dimensionnelles le long de la poutre pour (L/h=4 et L/h=16) [TBT] 76 Figure 4.14 : La distribution des déplacements axiaux non dimensionnels le long de la poutre pour (L/h=4 et L/h=16) [TBT] 76 Figure 4.15 : La distribution des contraintes normales non dimensionnelles pour différents paramètres du matériau pour (L/h=4 et L/h=16) 77 Figure 4.16 : La distribution des contraintes de cisaillement non dimensionnelles pour différents paramètres du matériau pour (L/h=4 et L/h=16) 78 Figure 4.17 : La variation des fréquences non dimensionnelles en fonction des différents élancements et différents paramètres du matériau Figure 4.18 : Les coordonnées et la géométrie de la poutre à gradient fonctionnel x 79 84 Figure 4.19 : Les caractéristiques géométriques et les propriétés de la poutre FGM (L/h = 100) 86 Figure 4.20 : La flèche transversale à l’extrémité de la console FGM (L/h=100) 87 Figure 4.21 : La variation de la contrainte normale à travers l’épaisseur de la poutre P-FGM en fonction des divers paramètres du matériau au x=0.6m (L/h=100) 87 Figure 4.22 : La variation de la contrainte de cisaillement à travers l’épaisseur de la poutre P-FGM en fonction des divers paramètres du matériau au x=0.6m (L/h=100) 88 Figure 4.23 : L’énergie de déformation en fonction des différents paramètres du matériau (L/h=100) 88 Figure 4.24 : Les caractéristiques géométriques et les propriétés de la poutre FGM (L/h = 15) 89 Figure 4.25 : La flèche transversale à l’extrémité de la console FGM (L/h=15) 89 Figure 4.26 : La variation de la contrainte normale à travers l’épaisseur de la poutre P-FGM en fonction des divers paramètres du matériau au x=0.6m (L/h=15) 90 Figure 4.27 : La variation de la contrainte de cisaillement à travers l’épaisseur de la poutre P-FGM en fonction des divers paramètres du matériau au x=0.6m (L/h=15) 90 Figure 4.28 : L’énergie de déformation en fonction des différents paramètres du matériau (L/h=100) 91 Figure 4.29 : Les coordonnées et la géométrie de la poutre à gradient de propriété 92 Figure 4.30 : L’effet de L/h sur la fréquence fondamentale non dimensionnelle (SA-SA) 97 Figure 4.31 : L’effet de L/h sur la fréquence fondamentale non dimensionnelle (E-E) 97 Figure 4.32 : L’effet de L/h sur la fréquence fondamentale non dimensionnelle (SA-E) 98 Figure 4.33 : L’effet du paramètre du matériau sur la fréquence fondamentale non dimensionnelle (SA-SA) [TBT] Figure 4.34 : Les coordonnées et la géométrie de la poutre FGM 98 103 Figure 4.35 : L’évolution de la flèche totale de la poutre en fonction des divers paramètres du matériau au milieu de la poutre (L/h=100) 103 Figure 4.36 : La distribution des contraintes normales dans le sens de l’épaisseur au milieu de la poutre (L/h=100) 103 Figure 4.37 : La distribution des contraintes de cisaillement dans le sens de l’épaisseur pour différentes théories à ordre élevé au point (x=0) (L/h=100) 104 Figure 4.38 : L’évolution de la flèche totale de la poutre en fonction des divers paramètres du matériau au milieu de la poutre (L/h=5) xi 105 Figure 4.39 : La distribution des contraintes normales dans le sens de l’épaisseur au milieu 105 de la poutre (L/h=5) Figure 4.40 : La distribution des contraintes de cisaillement dans le sens de l’épaisseur pour différentes théories à ordre élevé au point (x=0) (L/h=5) 106 CHAPITRE 5 FORMULATION D’ELEMENTS DE COQUES FGM A BASE TRIANGULAIRE Figure 5.1 : Elément triangulaire de plaque mince avec trois degrés de liberté par nœud 110 Figure 5.2 : Déformation d'une plaque en flexion (Théorie de Kirchhoff) 111 Figure 5.3 : Les charges, les moments et les forces de cisaillement dans un élément de plaque 113 Figure 5.4 : Elément triangulaire de plaque épaisse avec trois degrés de liberté par nœud 117 Figure 5.5 : Elément T43 ; Triangle avec quatre nœuds et trois degrés de liberté par nœud (deux translations U et V et la rotation ) 122 Figure 5.6 : L’élément de plaque par rapport aux deux repères (global et local) Figure 5.7 : Structure type de la matrice de rigidité de l’élément coque 126 au niveau élémentaire construite dans le système d’axes des coordonnées locales Figure 5.8 : Coque-consol FGM en traction 128 129 Figure 5.9 : Déplacement u au point de coordonnées (10,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau 129 Figure 5.10 : Coque-consol en FGM soumise à une charge ponctuelle 130 Figure 5.11 : Déplacement w au point de coordonnées (10,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau 130 Figure 5.12 : Déplacement u au point de coordonnées (100,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau 131 Figure 5.13 : Déplacement w au point de coordonnées (10,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau 132 Figure 5.14 : Coque en FGM 133 xii Liste des tableaux CHAPITRE 4 MODELISATION DES POUTRES EN MATERIAU A GRADIENT FONCTIONNEL Tableau 4.1 : Valeur de en fonction du paramètre du matériau 49 Tableau 4.2 : Les fonctions de formes et ses dérivées d’un élément de poutre (flexion simple) 55 Tableau 4.3 : Les flèches et les contraintes non-dimensionnelles de la poutre FGM sous charge uniformément répartie 70 Tableau 4.4 : Les flèches maximales non dimensionnelles de la poutre FGM pour différents paramètres du matériau 75 Tableau 4.5 : Les fréquences fondamentales non dimensionnelles de la poutre FGM 79 Tableau 4.6 : Les trois premières fréquences non dimensionnelles d’une poutre FGM 80 Tableau 4.7 : La première fréquence adimensionnelle matériau , 82 Tableau 4.8 : La deuxième fréquence adimensionnelle matériau pour différents paramètres du , 82 Tableau 4.9 : La troisième fréquence adimensionnelle matériau pour différents paramètres du pour différents paramètres du , 83 Tableau 4.10 : Propriétés matérielles de la céramique et du métal 84 Tableau 4.11 : La charge critique non-dimensionnelle d’une poutre FGM avec L/h=5 85 Tableau 4.12 : La charge critique non-dimensionnelle d’une poutre FGM avec L/h=10 85 Tableau 4.13 : Propriétés matérielles de la céramique et du métal 93 Tableau 4.14 : Une étude convergente (S-S, p=0, L/h=100, la théorie de Timoshenko) 93 Tableau 4.15 : La comparaison de 94 (la théorie de Timoshenko) Tableau 4.16 : L’effet des paramètres géométriques et la distribution matérielle sur (SA- SA) 94 Tableau 4.17 : L’effet des paramètres géométriques et la distribution matérielle sur (E-E) 95 xiv Tableau 4.18 : L’effet des paramètres géométriques et la distribution matérielle sur (S-C) 95 Tableau 4.19 : La charge critique non-dimensionnelle de la poutre FGM (E-L) 99 Tableau 4.20 : La charge critique non-dimensionnelle de la poutre FGM (E-E) 99 Tableau 4.21 : La charge critique non-dimensionnelle de la poutre FGM (E-SA) 99 Tableau 4.22 : La charge critique non-dimensionnelle de la poutre FGM (SA-SA) 100 CHAPITRE 5 FORMULATION D’ELEMENTS DE COQUES FGM A BASE TRIANGULAIRE Tableau 5.1 : Modes de construction des éléments nouveaux de coque 127 Tableau 5.2 : Déplacement u au point de coordonnées (10,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau selon T43, et la théorie des poutres minces 129 Tableau 5.3 : Déplacement w au point de coordonnées (10,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau selon C.mi43, et la théorie des poutres minces Tableau 5.4 : Les caractéristiques géométriques et mécaniques de la coque FGM 130 131 Tableau 5.5 : Déplacement u au point de coordonnées (10,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau selon T_43, et la théorie des poutres épaisses 131 Tableau 5.6 : Déplacement w au point de coordonnées (10,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau selon C.ep43, et la théorie des poutres épaisses 132 Tableau 5.7 : Les déplacements non dimensionnels au centre d’une coque carrée en FGM simplement appuyée soumise à une charge concentrée 134 Tableau 5.8 : Les déplacements non dimensionnels au centre d’une coque carrée en FGM simplement appuyée soumise à une charge répartie xv 134 Liste des notations Les propriétés du matériau constitutif i. La fraction volumique du matériau constitutif i Le paramètre du matériau Le module de Young en fonction de z Le module de Young de la céramique Le module de Young de métal Le module de cisaillement en fonction de z Le module de cisaillement de la céramique Le module de cisaillement de métal Le coefficient de Poisson en fonction de z Le coefficient de Poisson de la céramique Le coefficient de Poisson de métal La masse volumique en fonction de z La masse volumique de la céramique La masse volumique de métal La longueur de la poutre ou la coque La largeur de la poutre ou de la coque L’épaisseur de la poutre ou de la coque Les déformations dans les directions x, y et z Les déformations de cisaillement Les rotations autour des axes x, y et z Les contraintes normales Les contraintes de cisaillement C La matrice de comportement (matrice des constantes élastiques) Le travail virtuel intérieur Le travail virtuel extérieur Le vecteur des forces de surface Le vecteur des forces de volume La matrice des fonctions de forme xvi Le vecteur des déplacements nodaux La rotation autour de la normale (drilling rotation) Les déplacements dans les directions x et z Les composantes du champ de déplacement sur l’axe neutre de la poutre La déformation du plan neutre L’effort normal, le moment de flexion, et l’effort tranchant , , , Les termes de rigidité de la matrice de membrane, de couplage, de flexion et de cisaillement , , , La rigidité membranaire, de couplage, de flexion et de cisaillement La fonction de gauchissement (de cisaillement) La déformation de cisaillement du plan médian Vecteur colonne Vecteur ligne Matrice MCR mouvement de corps rigide et Les mouvements de corps rigide Les paramètres généraux de l’approximation La matrice d’élasticité de la plaque mince La matrice d’élasticité de la plaque épaisse La matrice d’élasticité de l’élément membranaire , Les matrices d’élasticité de couplage (coque mince et coque épaisse) xvii Introduction générale Introduction générale 1 Introduction Les matériaux sont considérés comme un axe de recherche très important. Depuis la nuit des temps, le moteur de la découverte de nouveaux matériaux a plus ou moins obéi à une double démarche. Cette dernière est associée aux problèmes que l’homme doit résoudre pour sa vie matérielle d’une part et à son besoin intellectuel de connaitre et de comprendre le monde qui l’entoure d’autre part. Il y a donc des matériaux qui ont été conçus pour répondre à un besoin technologique spécifique. Le développement des matériaux composites a permis d’associer des propriétés spécifiques à différents matériaux au sein d’une même pièce. L’optimisation locale de ces propriétés, par association d’un matériau de haute dureté à la surface d’un matériau tenace, par exemple, pose alors le problème de l’interface. Cette transition brutale de compositions peut générer localement de fortes concentrations de contraintes. La solution d’une transition continue des propriétés recherchées, par un gradient de composition, permet d’atténuer cette singularité par l’utilisation des matériaux à gradient de propriétés (en anglais : Functionally Graded Materials " F.G.M "). Les matériaux à gradient de propriétés (FGM) ; un type de matériaux composites produit en changeant sans interruption les fractions de volume dans une ou plusieurs directions pour obtenir un profil bien déterminé. Ces types de matériaux, ont suscité beaucoup d’attention récemment en raison des avantages de diminuer la disparité dans les propriétés matérielles et de réduire les contraintes thermiques, leur utilisation et leur progression croissante dans les domaines de l’aéronautique et de l’aérospatial où ils peuvent servir de barrières thermiques vue leur composition riche en céramique. Cependant les FGM touchent un large éventail d’applications dans de multiples autres domaines comme ceux de la médecine, de l’électricité, du nucléaire,… etc. L’analyse des structures en FGM a connu un essor en utilisant des méthodes numériques notamment la méthode des éléments finis. Les poutres et les coques constituent des éléments de base dans les structures aérospatiales, marines et terrestres, c’est pourquoi un intérêt particulier est porté, pour bien comprendre leur comportement sous diverse sollicitations est une étape cruciale dans l’analyse structurale. 1 Introduction générale 2 Objectif de la thèse Par le présent sujet on vise une contribution à la modélisation des structures (poutres et coques) en matériau à gradient fonctionnel (FGM), par le développement d’éléments finis à matériau FGM. Ces éléments développés seront destinés à l’analyse des différents comportements (statique, dynamique et flambement) des structures en matériaux isotropes, composites et plus spécialement les structures en matériau à gradient fonctionnel. Par ailleurs, un autre objectif de ce travail est d'étudier l'influence de différents paramètres sur les différents types de comportements tels que la géométrie, les conditions aux limites, l’épaisseur (mince où épaisse), le paramètre du matériau utilisé (homogène où isotrope (FGM)). 3 Plan de la thèse Le document comprend essentiellement cinq chapitres : Le premier chapitre, dédie à présenter le positionnement du problème. Une représentation générale sur les matériaux composites, les mécanismes de rupture des composites sont ensuite abordés en insistant sur le phénomène de délaminage, puis nous définissons les matériaux à gradient fonctionnel « FGM », l’histoire de leur développement, leurs propriétés et leurs domaines d’application. Le deuxième chapitre, est consacré à la recherche bibliographique sur la simulation de structures fabriquées en FGM en utilisant la méthode des éléments finis, réalisée le long des deux dernières décennies. Le troisième chapitre, est consacré à une présentation des notions de la mécanique des milieux continus. On enchaîne ensuite sur la manière dont il est possible d’en déduire les principaux modèles d’éléments finis existants, particulièrement les formulations « en déplacement », et « en déformation ». Le quatrième chapitre, est dédié à un rappel sur les théories des poutres en FGM et leur modélisation par la méthode des éléments finis. Comme il est fait état d’une analyse comparative des performances de nos éléments par rapport à ceux développés par d’autres auteurs. Ensuite une étude paramétrique est présentée. Enfin, une nouvelle théorie à ordre élevé est proposée, elle prend en considération l’effet de cisaillement transverse. 2 Introduction générale Le cinquième chapitre est réservé à la formulation et au développement des éléments de coques FGM basés sur la formulation en déformation. On détaille par la suite la démarche de formulation des deux éléments de coque en FGM un mince et l’autre épaisse. La bonne performance de ces éléments a été clairement démontrée à travers une série d’exemples numériques. Enfin, le travail s’achèvera par une conclusion générale relative à la recherche effectuée incluant des perspectives pour des travaux futurs. 3 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel 1.1 Introduction Les matériaux composites disposent d'atouts importants par rapport aux matériaux traditionnels. Ils apportent de nombreux avantages fonctionnels: légèreté, résistance mécanique et chimique, maintenance réduite, liberté de forme. Ils permettent d'augmenter la durée de vie de certains équipements grâce à leurs propriétés. Ils enrichissent aussi les possibilités de conception en permettant d'alléger les structures et de réaliser des formes complexes aptes à remplir plusieurs fonctions. Dans chacun des marchés d'application (bâtiment, automobiles, équipements industriels…), ces performances remarquables sont à l'origine de solution innovante. Les matériaux composites offrent aux industriels et aux concepteurs de nouvelles possibilités d'associer fonctions, formes et matériaux au sein de la réalisation. C'est un système de plus en plus performant. Le poids, la plurifonctionnalité sont autant d’atouts de principes de processus nouveaux de conception, d’industrialisation, qui permettent d’étendre les possibilités techniques et de mieux satisfaire des besoins parfois contradictoires (poids -fonction) auxquels les matériaux homogènes classiques répondent difficilement. Un matériau composite est constitué de l'assemblage de deux ou plusieurs matériaux de natures différentes, se complétant et permettant d'aboutir à un matériau dont l'ensemble des performances est supérieur à celui des composants pris séparément. Un matériau composite constitué dans le cas général d'une ou plusieurs phases discontinues réparties dans une phase continue. La phase discontinue est habituellement plus dure avec des propriétés mécaniques supérieures à celles de la phase continue. La phase continue est appelée " la matrice ", la phase discontinue est appelée "le renfort ". 4 Chapitre 1 1.2 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel Classification des matériaux composites La classification des composites peut être effectuée selon diverses façons. Une manière simple consiste à les classer par les formes des renforts [1], [2]. Les composites sont donc divisés en quatre catégories suivantes (Fig.1.1).  Composites à renforts de particule  Composites à renforts de paillettes  Composites à renforts de fibres  Composites stratifiés Fig.1.1 Classification des matériaux composites [2] Les matériaux composites peuvent également être classés par la nature de la matrice comme suit : 1.3  Composites à matrice polymérique  Composites à matrice métallique  Composites à matrice céramique Constituants des matériaux composites Dans la plupart des cas, dans l’industrie aéronautique. Les matériaux composites seront parfois appelés « composites fibreux » ou même « composites » par simplicité. Les propriétés mécaniques des composites sont directement liées aux caractéristiques mécaniques de leurs constituants : la fibre, la matrice, ainsi que l’interphase. La résistance et la rigidité d’un composite sont assurées principalement par les fibres qui possèdent des caractéristiques mécaniques beaucoup plus élevées que la matrice. Cette dernière, quant à elle, réunit les fibres et donne la forme géométrique de la structure. La matrice sert également à transférer les efforts mécaniques entre les fibres et les protéger contre les environnements. 5 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel L’interphase est la zone créée par l’adhérence et la réaction entre les fibres et la matrice. Elle possède des caractéristiques chimiques et mécaniques différentes de celles des fibres et de la matrice [3]. La disponibilité d’un grand choix de fibres et de matrices permet de réaliser des composites ayant diverses propriétés. Nous présenterons rapidement quelques-uns des constituants les plus couramment utilisés. 1.3.1 Les fibres La rupture des matériaux hautes résistances ou hauts modules élastique est généralement provoquée par la propagation des défauts. Les matériaux en forme de fibre sont intrinsèquement plus résistants à la rupture qu’en forme massive car la taille des défauts est limitée par le diamètre faible [1]. Dans un composite fibreux, la tenue mécanique est assurée principalement par les fibres. Par sa nature filamenteuse, la rupture de quelques fibres a pour résultat la redistribution du chargement sur les autres fibres, ce qui empêche la rupture catastrophique de la structure. Les fibres les plus souvent rencontrées dans les composites sont les suivantes:  Fibres de verre  Fibres de carbone  Fibres aramides 1.3.2 Les matrices La matrice réunit les fibres par ses caractéristiques cohésive et adhésive. Elle maintient les fibres dans leur orientation et leur position prévues pour les charges appliquées. Ses autres rôles consiste à distribuer les efforts entre les fibres, fournir une résistance à la propagation de fissure, et fournir toutes les résistances en cisaillement du composite [1]. La matrice détermine en général la limite de la température d’utilisation et l’environnement de service du matériau. Il existe un grand nombre de polymères pouvant servir de matrice aux matériaux composites. Ceux parmi les plus utilisés sont les suivants :  Les résines thermodurcissables  Les résines thermoplastiques 6 Chapitre 1 1.3.3 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel L’interphase La nature de l’adhésion fibre/matrice inclut le verrouillage mécanique, l’attraction électrostatique, l’enchevêtrement moléculaire, et la réaction chimique [3]. L’interphase est constituée de la surface de contact (interface) fibre/matrice ainsi que de la région d’un volume fini prolongée dans la matrice. Elle peut être considérée comme un constituant du composite car elle possède des propriétés chimiques, physiques, et mécaniques différentes de celles de la fibre et de la matrice. L’interphase assure la liaison fibre/matrice et permet le transfert des contraintes de l’une à l’autre sans déplacement relatif. Cependant, l’hypothèse que l’interphase n’a pas d’épaisseur est souvent faite pour faciliter l’analyse micromécanique des composites [3]. Considérations d’usage des matériaux composites 1.4 Dans la conception des produits, il est essentiel d’évaluer et comparer les composites avec les matériaux conventionnels pour bien choisir les matériaux. Les avantages et les inconvénients principaux des matériaux composites sont présentés ci-dessous. 1.4.1 Les avantages Les avantages les plus cités des matériaux composites incluent :  Propriétés mécaniques adaptables Un stratifié composite fibreux est un empilement des plis élémentaires qui se comportent ensemble comme un élément structural. Un pli élémentaire est anisotrope, ou orthotrope dans la plupart des cas, avec la résistance et la rigidité dans la direction des fibres beaucoup plus élevées que dans d’autres directions. Il faut alors associer différentes orientations de fibres afin d’obtenir un stratifié capable de résister à diverses sollicitations. Un avantage principal du stratifié composite est que les plis élémentaires peuvent être orientés de telle façon que la résistance dans une direction donnée corresponde aux chargements prévus. La part de matériau dans des directions non-sollicitées est donc minimisée.  Haute résistance et haut module d’élasticité Les propriétés mécaniques élevées, notamment la résistance et le module des matériaux composites hauts performances permettent de répondre aux exigences de l’industrie aéronautique. D’autres industries en profitent également, par exemple la vitesse d’une balle de tennis est plus élevée avec des raquettes en carbone/époxy. 7 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel  Poids Les matériaux composites hauts performances ont une densité de l’ordre de 1,6 contre 2,7 pour les alliages d’aluminium. Selon Airbus, ils autorisent un gain de 10 à 30 % sur les éléments de structure [4]. Ce gain de masse permet d’employer des moteurs moins puissants. Ceux-ci consomment moins et permettent de réduire la taille des réservoirs de carburant pour le même cahier des charges de l’avion.  Production Les matériaux composites permettent de simplifier l’assemblage de la structure, ce qui compense partiellement leur prix élevé. La réduction du nombre de pièces par rapport aux matériaux conventionnels peut être substantielle. Par exemple, un tronçon de fuselage qui réclame typiquement mille pièces et plusieurs milliers de fixations est fabriqué en un seul morceau pour le Boeing 787 [4].  Maintenance Les composites ont besoin de moins d’entretien que les alliages métalliques. D’une part, ils ne sont pas sensibles à la corrosion. D’autre part, la tenue en fatigue est très bonne. Par exemple, l’intervalle entre deux révisions complètes du Boeing 787, qui utilise massivement des matériaux composites, est porté à douze ans au lieu de dix ans sur un 777 [4]. 1.4.2 Les inconvénients Bien que les avantages des matériaux composites soient impressionnants, ces matériaux ne sont pas une solution miracle pour toutes les applications. Des inconvénients ou des problèmes existent et peuvent empêcher leur usage. Les inconvénients les plus courants sont les suivants :  Coût Les matériaux composites hauts performances ont été développés principalement pour répondre aux besoins de la communauté aérospatiale où le coût élevé peut être toléré en échange de matériaux plus performants. Par conséquent, le transfert de la technologie des composites aux produits de grande consommation est lent, à quelques exceptions comme les équipements de sports où la performance prime également sur le coût.  Conception et analyse Les matériaux composites sont souvent à la fois hétérogènes et anisotropes. Ces deux caractéristiques sont différentes des celles de la plupart des matériaux conventionnels. 8 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel Elles nécessitent de nouvelles approches, généralement plus compliquées, pour la conception et l’analyse des structures. L’hétérogénéité impose l’analyse selon au moins deux points de vue. La micro mécanique examine l’interaction des constituants à l’échelle microscopique. La macromécanique suppose que le composite est homogène et s’intéresse aux propriétés apparentes du matériau. Les matériaux anisotropes nécessitent plus de propriétés mécaniques que les matériaux isotropes pour établir les relations contrainte-déformation (les lois de comportement). Ces propriétés sont déterminées selon les directions principales du pli élémentaire (directions parallèle et perpendiculaire à l’orientation des fibres) [5].  Assemblage Les matériaux composites sont généralement plus fragiles que les matériaux métalliques conventionnels. Par conséquent, la redistribution des contraintes autour des sites de concentration telle que le trou est moins efficace. La résistance et la rigidité d’un stratifié ne peuvent pas toujours être entièrement transférés par un joint. Le trou est donc souvent renforcé par des inserts métalliques ou par l’augmentation de l’épaisseur du stratifié dans la partie trouée [5]. De tels renforcements entraînent du poids supplémentaire pour la structure. Le problème d’assemblage est donc critique pour le succès de l’emploi des matériaux composites.  Tolérance aux dommages Un des points faibles les plus importants des matériaux composites est la tolérance aux dommages. Des dommages de diverses natures peuvent se produire dans la vie d’une structure, par exemple l’impact, soit en service ou pendant la maintenance, est inévitable. En règle générale, plus un matériau est ductile, plus il est capable de tolérer l’impact car la ductilité fournit la capacité d’absorber de l’énergie. Par conséquent, les structures métalliques ont tendance de se déformer plutôt que de se fracturer sous l’impact. Le caractère fragile des matériaux composites ne permet pas, par contre, de subir l’impact sans avoir d’endommagement Les dommages sont souvent des fissurations internes de la matrice, indétectables sur la surface de la structure. Ce type de dommages diminue considérablement la résistance en compression de la pièce endommagée. Les dommages des fibres diminuent la résistance en compression ainsi qu’en traction. Les outils pour évaluer la tolérance aux dommages des 9 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel structures sont le programme d’inspection, l’analyse de la résistance résiduelle, et l’analyse de la propagation des dommages [6]. 1.5 Mécanismes de rupture des stratifiés composites à renforts de fibres longues L’étude des matériaux composites comporte plusieurs thèmes tels que procédés de fabrication, élasticité anisotrope, micromécanique, etc. Nous nous intéressons au sujet de l’endommagement de ces matériaux, plus particulièrement des stratifiés composites à renforts de fibres longues. Ce type de matériau est très répandu dans des applications où la réduction de poids est critique. Comme l’utilisation s’agrandit, la probabilité des ruptures éventuelles est également augmentée. La capacité de caractériser les ruptures, par exemple en termes des modes de rupture, des paramètres, ou des valeurs critiques à la rupture, est essentielle pour assurer l’intégrité des pièces en service et pour la conception des futurs produits. La rupture des stratifiés composites peut se produire de plusieurs façons très complexes. Les modes de rupture dépendent de la stratification et de la direction du chargement par rapport à l’orientation des fibres. Les figures (Fig.1.2) et (Fig.1.3) montrent les allures des ruptures par flexion et par traction respectivement. Des différences remarquables à l’échelle macroscopique peuvent être constatées selon différentes stratifications. Etant donné la diversité de la stratification et du chargement, des modes de rupture bien définis à l’échelle macroscopique ne peuvent pas, en général, être identifiés [7]. Fig.1.2 Fig.1.3 Ruptures par flexion de différentes séquences d’empilement (a) Quasi-isotrope, (b) Unidirectionnelle, (c) ±45°, (d) 0°/90° [7] Ruptures par traction de différentes séquences d’empilement (a) 0°/90° tissu, (b) Unidirectionnelle, (c) Quasi-isotrope, (d) 0°/90° [7] 10 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel La description de la rupture à l’échelle du pli est, par contre, relativement efficace pour le classement des mécanismes de rupture. Les stratifiés à renforts de fibres longues ont trois types de rupture : rupture intra-laminaire, rupture inter-laminaire, et rupture translaminaire [7]. Ces trois mécanismes de rupture (Fig. 1.4) définissent le plan de rupture par rapport aux constituants du matériau. La rupture intra-laminaire se trouve à l’intérieur d’un pli tandis que la rupture inter-laminaire décrit une rupture entre deux plis adjacents. La rupture translaminaire est orientée transversalement à l’orientation de fibres dans le pli endommagé. Rupture intralaminaire Fig.1.4 Rupture interlaminaire Rupture translaminaire Mécanismes de rupture dans un stratifié [7] Avec cette convention, les ruptures des stratifiés à renforts de fibres longues peuvent être décrites en termes des mécanismes de rupture à l’échelle du pli, identifiables par des observations microscopiques sur les surfaces de rupture. 1.5.1 Rupture intra-laminaire La rupture intra-laminaire est due principalement à la faible résistance de la matrice et de l’adhérence entre la matrice et les fibres. Elle est provoquée par les contraintes dans le plan du stratifié. Un pli se détériore par la contrainte résultante en traction dans la direction normale aux fibres. Ce type de rupture est donc couramment appelée la « fissuration transverse ». Normalement cette fissuration de la matrice se produit bien avant la rupture de fibre. 1.5.2 Rupture inter-laminaire La rupture inter-laminaire se produit dans l’interface entre deux plis d’un stratifié. La surface de rupture montre, en général, la rupture de la matrice et la décohésion fibre/matrice. Ces mécanismes impliquent peu de rupture de fibres. Comme pour les matériaux métalliques, la rupture peut être en mode I (ouverture), mode II (glissement droit), mode III (glissement vis). 11 Chapitre 1 1.5.3 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel Rupture trans-laminaire La rupture trans-laminaire concerne la rupture de fibres. Les surfaces de rupture sont donc généralement marquées par la morphologie rugueuse des bouts de fibres. En effet, la contrainte à rupture des fibres est plus importante que celle de tous les autres constituants d’un stratifié composite. Par conséquent, ce mécanisme de rupture entraîne souvent la rupture totale du stratifié. La rupture trans-laminaire peut être séparée en deux modes selon les chargements : la rupture par traction et le micro-flambage par compression. La rupture peut être provoquée par un mode individuel ou une combinaison des deux modes. 1.6 Délaminage et FGM L’un des avantages majeurs des stratifiés composites à renforts de fibres longues est la capacité d’orienter les fibres de chaque pli afin d’avoir les propriétés, souvent la résistance et la rigidité, appropriées aux chargements dans les directions prévues. Par exemple, une plaque stratifiée peut avoir une rigidité en traction dans une direction deux fois supérieure à celle dans une autre direction. Malgré d’excellentes propriétés dans le plan, les stratifiés présentent un problème propre aux matériaux réalisés par stratification : la rupture inter-laminaire. Ce mécanisme de rupture se caractérise par un décollement ou une décohésion entre les plis du stratifié. Il est couramment appelé le « délaminage ». Un stratifié soumis à un chargement présente différentes étapes de dégradation. Dans le scénario d’évolution des défauts le plus « classique » [8], la matrice et l’interface fibre/matrice sont les premières à se détériorer (Fig. 1.5.a). Les premiers défauts sont donc la microfissuration de la matrice et la décohésion fibre/matrice à l’échelle microscopique. Ensuite, ces défauts s’agrandissent de façon stable à l’échelle du pli par coalescence (Fig. 1.5.b), les micro-défauts se rejoignent pour former des fissurations transverses. Les fissures transverses peuvent parvenir à l’interface des plis et provoque le délaminage sous l’effet des contraintes inter-laminaires (Fig. 1.5.c). Ces défauts et leur évolution dépendent de l’empilement, du nombre de plis, du chargement, et de la taille et de la forme de la structure considérée. 12 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel Fig.1.5 Evolution de défauts [8] Les micro-mécanismes principaux de l’endommagement qui accompagnent un délaminage sont présentés schématiquement dans la (Fig.1.6) [9]. Ils incluent : • Zone endommagée : La forte concentration de contraintes autour de la pointe de fissure provoque une zone endommagée où se trouvent la déformation plastique et/ou des microfissures de la matrice. • Fissures latérales : Après le passage de la fissure, les microfissures dans la zone endommagée peuvent se transformer en des fissures latérales de la matrice autour du plan de délaminage. • Pontage de fibres : La présence de fissures au dessus ou en dessous du plan de délaminage facilite la création de ponts de fibres reliant les deux surfaces délaminées. Certains ponts de fibres se rompent pendant l’avancée du délaminage. Fig.1.6 Mécanismes de l’endommagement accompagnant le délaminage [9] Le développement des matériaux composites a permis d’associer des propriétés spécifiques à différents matériaux au sein d’une même pièce. L’optimisation locale de ces propriétés, par association d’un matériau de haute dureté à la surface d’un matériau tenace par exemple, pose alors le problème de l’interface. Cette transition brutale de compositions peut générer localement de fortes concentrations des contraintes. La solution d’une transition continue des propriétés recherchées, par un gradient de composition, permet d’atténuer cette singularité par 13 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel l’utilisation des matériaux à gradient de propriétés (en anglais : Functionally Graded Material " F.G.M "). Les matériaux à gradient de propriétés (FGM) ; un type de matériaux composites produit en changeant sans interruption les fractions de volume dans la direction d’épaisseur pour obtenir un profil bien déterminé, ces type de matériaux, ont suscités beaucoup d’attention récemment en raison des avantages de diminuer la disparité dans les propriétés matérielles et de réduire les contraintes. Fig.1.7 Configurations des composites et des FGM Le concept de " Matériaux à Gradient de Propriétés " a été développé dans le laboratoire national d’aérospatial du Japon en 1984 par M. Niino et ses collègues à Sendai. L’idée est de réaliser des matériaux utilisés comme barrière thermique dans les structures spatiales et les réacteurs à fusion [10]. Les FGM peuvent être utilisés pour différentes applications, telles que les enduits des barrières thermiques pour les moteurs en céramique, turbines à gaz, couches minces optiques, etc.…[11] Généralement, les FGM sont fabriqués à partir des matériaux isotropes tels que les céramiques et les métaux [12]. Ils sont donc des composites présentant des caractéristiques macroscopiquement hétérogènes. Le changement continu dans la composition et donc dans la microstructure du matériau distingue les FGM des matériaux composites conventionnels [10]. Il en résulte un gradient qui déterminera les propriétés des FGM dans certains cas. 1.7 Idée générale sur le développement des FGM En 1987, le gouvernement Japonais a lancé un vaste projet intitulé " la recherche sur la technologie de base pour développement de matériaux à gradient de propriétés et l’étude de la 14 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel relaxation des contraintes thermiques ". L’intérêt du projet est de développer des matériaux présentant des structures utilisées comme barrière thermique dans les programmes aérospatiaux. Les matériaux constituants les parois des engins spatiaux sont appelés à travailler à des températures de surface de 1800°C ainsi qu’à un gradient de température de l’ordre de 1300°C. A cette année-là, aucun matériau industriel n’était connu pour supporter de telles sollicitations thermomécaniques [10]. Trois caractéristiques sont à considérer pour la conception de tels matériaux :  Résistance thermique et résistance à l’oxydation à haute température de la couche superficielle du matériau ;  Ténacité du matériau coté basse température ;  Relaxation effective de la contrainte thermique le long du matériau [13]. Pour répondre à un tel cahier des charges, l’idée originale des FGM a été proposée pour élaborer un nouveau composite profitant à la fois des propriétés des céramiques (Coté haute températures) et des métaux (Coté basse température). A la fin de la première étape (1987-1989), les chercheurs avaient réussi à fabriquer des petites pièces expérimentales (1-10 mm d’épaisseur et 30 mm de diamètre) pouvant résister à des températures maximales de 2000 K (Température de surface) et à un gradient de température de 1000 K. Quatre techniques ont été utilisées pour fabriquer les matériaux présentant un gradient de composition et de structure. Dans la seconde étape (1990-1991), le but était de réaliser des pièces de tailles plus grandes et de forme plus complexes par rapport à celles réalisées dans la première étape. Pendant les années 90, non seulement les champs d’application des FGM s’est développé pour les matériaux de structure fonctionnant à haute température, mais s’est aussi élargi à d’autres applications : biomécaniques, technologie de capteur, optique, etc.…On trouve une littérature très importante sur l’utilisation de ce matériau. Cependant, l'utilisation des structures en FGM dans les environnements avec de grands changements de température exige la connaissance des déformations. 1.8 Conception des structures FGM Dans la plupart des cas, les investigateurs considèrent le FGM comme étant un matériau composé particulier pour lesquels la fraction de volume varie sans interruption dans la direction de l’épaisseur. Quelques études considèrent également le FGM comme étant un composé renforcé par un tissu dans lesquels l'orientation de fibre varie à travers l'épaisseur. 15 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel Un matériau FGM est un type de matériaux composites classé par leur microstructure variable dans l’espace; conçue pour optimiser l’exécution des éléments de structures par la distribution de propriétés correspondantes. Les distributions de propriété sont trouvées dans une variété de produits communs qui doivent avoir des fonctions multiples (c'est-à-dire multifonctionnelles) comme les liaisons entre les particules ; qui doivent être assez dures a l’intérieur pour résister à la rupture ; mais doivent également être assez dures sur l’extérieur pour empêcher l’usure. La (Fig.1.8) montre une micrographie par microscope électronique à balayage de la section transversale d’une billette en FGM (Al2O3-SUS304). Dans un matériau à gradient fonctionnel, les différentes phases micro-structurelles ont des fonctions différentes, et le matériau à gradient fonctionnel global atteint le statut multi structural par gradation de leurs propriétés. En variant progressivement la fraction volumique des constituants du matériau, leurs propriétés matérielles présentent un passage lisse et continu d’une surface à une autre, éliminant ainsi les problèmes d'interface et l'atténuation des concentrations de contraintes. Cela est dû au fait que le constituant céramique du matériau à gradient fonctionnel est capable de résister à des environnements de haute température en raison de leurs meilleures caractéristiques de résistance thermique, tandis que le constituant métallique assure une meilleure performance mécanique et réduit la possibilité d’une rupture catastrophique. Fig. 1.8 Micrographie par microscope électronique à balayage d'une section transversale d’une billette en matériaux à gradient fonctionnel (Al2O3-SUS304) 16 Chapitre 1 Fig. 1.9 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel Matériaux à gradient fonctionnel avec des fractions volumiques des phases constitutives graduées [14] Un FGM typique, avec un effet élevé de couplage flexion-extension est illustré dans la (Fig.1.9) [14], où les particules sphériques ou presque sphériques sont intégrées au sein d'une matrice isotrope. 1.9 Le gradient Contrairement aux matériaux homogènes, les propriétés des FGM varient non seulement avec leur composition, mais dépendent également de la connectivité de la structure du réseau interne. (Fig.1.10) montre une représentation schématique de la microstructure commune produisant dans un matériau tel que le contenu de la deuxième phase est augmentée. À des fractions de faible volume, la seconde phase existe sous forme des particules isolées dispersées dans une matrice (a). Comme le contenu de la deuxième phase augmente, les particules commencent à avoir des contacts et former des amas agglomérés (b). Comme il augmente encore, une transition microstructurale critique a lieu, où la deuxième phase n’est plus dispersée, mais devient plutôt reliés entre eux sur de longues distances (c, d, e). La transition a un effet profond sur les propriétés des matériaux, par exemple, conductivité thermique ou électrique, et un petit changement de composition va donc se traduire par une variation distincte des propriétés [15]. 17 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel Fig.1.10 Changement schématique de la microstructure dans un profile FGM 1.10 Domaines d’applications des matériaux fonctionnellement gradués Le concept des matériaux fonctionnellement gradués est applicable dans nombreux domaines. Il a été initialement conçu pour l’industrie de l'aéronautique, où les FGM ont fournis deux propriétés contradictoires telles que la conductivité et l’isolation thermique. Actuellement, ils permettent la production des matériaux légers, forts et durables, et ils sont applicables dans un large interval des domaines tels que :  Aérospatial Les matériaux à gradient fonctionnel peuvent être utilisés dans des conditions de haute température avec une de ses constituants à faible conductivité thermique. Ils peuvent résister à des gradients thermiques élevés, ce qui rend les matériaux à gradient fonctionnel appropriée beaucoup dans les structures aérospatiales comme les composants de véhicules spatiaux (moteur de fusée, corps des avions spatiaux.etc...)  Médecine Les FGM a trouvé une large gamme d'application dans le domaine dentaire et orthopédique pour les dents et le remplacement des os.  Défense Dans la demande de défense, tels que des plaques de blindage et des gilets pare-balles, la pénétration des matériaux résistants est nécessaire. Une des caractéristiques les plus importantes du matériau à gradient fonctionnel est la capacité à inhiber la propagation des fissures, ce qui rend les matériaux à gradient fonctionnel appropriés pour les applications de défense.  Énergie nucléaire Les FGM sont utilisés dans les dispositifs de conversion d'énergie. Ils fournissent également une barrière thermique et ils sont utilisés comme revêtement de protection sur des aubes de turbine dans le moteur à turbine à gaz et aussi dans le générateur thermoélectrique, pile à combustible, réacteurs nucléaires, pastilles de combustible. 18 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel  Optoélectronique Les FGM trouvent aussi leur application dans l'optoélectronique comme les matériaux à indice de réfraction gradués et des disques audio-vidéo; support de stockage magnétique, semi-conducteur à bande graduée. Autres domaines d'application sont: produits (matériaux de constructions, corps de voiture, verres de fenêtre), conversion d'énergie (générateur thermoélectrique, convertisseur thermoïonique, pile à combustible), optiques (fibres optiques, lentilles), matières biologiques (implants, peau artificielle), chimique (échangeur de chaleur, tube de chaleur, récipient de réaction). 1.11 Propriétés effectives des matériaux à gradient fonctionnel Plusieurs FGM sont fabriqués par deux phases de matériaux avec différentes propriétés. Une description détaillée d’une microstructure graduée réelle est généralement non disponible, sauf peut-être pour des informations sur la distribution de la fraction volumique. Tandis que la fraction volumique de chaque phase graduellement varie dans la direction de gradation, les propriétés effectives de FGM changent le long de cette direction. Par conséquent, nous avons deux approches possibles pour les FGM comme modèles : Pour la première, une variation par morceaux de la fraction volumique du céramique ou du métal est assumée, et le FGM est pris pour être posé avec la même fraction volumique dans chaque région, c’est à dire, couche quasi-homogène de céramique-métal (Fig.1.11.a) ; Pour la deuxième, une variation continue de la fraction volumique du céramique ou du métal est assumée (Fig.1.11.b). Fig. 1.11 Modèle analytique pour une couche de matériau à gradient fonctionnel :a) première approche; b) deuxième approche 19 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel Fig.1.12 Variation continue de la microstructure : a) (schématisée) ; b) (photo) La variation continue des propriétés (Fig.1.12) trouve son application lorsque, par exemple, la face supérieure est exposée à une haute température alors que la face inférieure est exposée à une basse température. Dans ce cas, la face supérieure est à 100% céramique et la face inférieure est à 100% métal, avec une transition graduelle entre les deux. L’utilisation de la céramique n’est pas fortuite. Ce matériau est choisi grâce à ses caractéristiques exceptionnelles qui sont énumérées comme suit:  faible réactivité chimique, bonne tenue à la corrosion ;  haute température de fusion ou de décomposition ;  haut module d’élasticité et haute dureté ;  charge à la rupture élevée ;  bas coefficient de frottement, bonne résistance à l’usure ;  conservation des propriétés à haute température ;  Faible coefficient de dilatation thermique (donc bonne résistance aux chocs thermiques) ;  Faible conductivité thermique (donc bonne résistance à la température). Cependant, les céramiques sont réputées être fragiles et très vulnérables aux défauts de petites tailles. Les caractéristiques du métal sont données comme suit :  Bonne résistance mécanique ;  Conductivité thermique élevée,  Très bonne ténacité. 20 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel 1.12 Lois régissantes la variation des propriétés matérielles des FGM Les matériaux à gradient fonctionnel « FGM » consistent en l’association de deux ou plusieurs matériaux aux propriétés structurales et fonctionnelles différentes avec une transition idéalement continue de la composition, de la structure et de la distribution des porosités entre ces matériaux de manière à optimiser les performances de la structure qu’ils constituent. Les caractéristiques les plus distinctes des matériaux FGM sont leurs microstructures non uniformes avec des macro-propriétés graduées dans l’espace. Un des paramètres clé à déterminer lors de la fabrication de ces matériaux est la composition multiphase à travers l’épaisseur. La dépendance des propriétés de la position se traduit par la prise en compte de la loi des mélanges correspondant au modèle de Voigt. (1-1) Où et sont respectivement les propriétés du matériau et la fraction volumique du matériau constitutif i avec la somme des fractions volumiques de tous les matériaux constituants donne l’unité 1 : (1-2) Dans la pratique, la plupart des structures FGM sont à deux constituants : de la céramique et du métal inoxydable en général (Fig.1.13). Dans ce cas, la loi de Voigt se réduit à : (1-3) (1-4) Un FGM peut être définie par la variation des fractions de volume. La plupart des chercheurs emploient la fonction de puissance, la fonction exponentielle, ou la fonction sigmoïde pour décrire les fractions de volume. Les liaisons entre les particules doivent être assez dures à l’intérieur pour résister à la rupture, et également assez dures à l’extérieur pour empêcher l’usure. Fig.1.13 Géométrie d’une poutre FGM 21 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel Les coordonnées x et y définissent le plan de la poutre, tandis que l’axe z origine à la surface du milieu de la poutre et dans le sens de l’épaisseur (fig.1.13). Les propriétés du matériau dont le module de Young et le coefficient de Poisson sur les faces supérieures et inférieures sont différentes. Ils varient de façon continue, suivant l’épaisseur (l’axe z), soit : et = (z). Jin and Batra [16], Ziou et al. [17] ont indiqué que l’effet du coefficient de poisson sur les déformations est négligeable comparativement à celui du module de Young. Par conséquent, le coefficient de Poisson peut être supposé comme constant. Cependant, Le module de Young dans la direction de l’épaisseur de la poutre FGM varié en fonction de la loi de puissance (PFGM), la fonction exponentielle (E-FGM) ou avec la fonction sigmoïde (S-FGM). 1.13 Propriétés matérielles de la poutre P-FGM La fraction volumique de la classe P-FGM obéit à une fonction en loi de puissance comme suit : (1-5) Où p est un paramètre matériels et h est l’épaisseur de la poutre. Une fois la fraction volumique locale à été définie, les propriétés matérielles d’une poutre P-FGM peuvent être déterminées par la loi des mélanges : (1-6) Où et sont respectivement les modules de Young de la surface supérieure et de la surface inférieure Fig.1.14 de la poutre FGM. Variation de la fraction volumique à travers l’épaisseur P-FGM 22 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel La variation de la fraction volumique dans la direction d’épaisseur de la poutre P-FGM est représentée sur la (Fig.1.14). Il apparait clairement que cette dernière change rapidement près de surface inférieure pour pour , et augmenté rapidement près de la surface supérieure . 1.14 Propriétés matérielles de la poutre S-FGM Chi et al [18] ont défini la fraction de volume de la poutre FGM en utilisant deux fonctions de loi de puissance pour assurer une bonne distribution des contraintes parmi toutes les interfaces. Les deux fonctions de loi de puissance sont définis par : pour : (1-7a) pour : (1-7b) En utilisant la loi des mélanges, le module de Young de la poutre S-FGM peut être calculé par Pour : (1-8a) Pour : (1-8b) La (Fig.1.15) montre que la variation de la fraction volumique définie par les équations (1-7a) et (1-7b) représente les distributions sigmoïdes, et cette poutre FGM est appelée (Poutre SFGM). Fig.1.15 Variation de la fraction volumique à travers l’épaisseur (S-FGM) 1.15 Propriétés matérielles de la poutre E-FGM Pour décrire les propriétés matérielles des matériaux FGM, la plupart des chercheurs utilisent la fonction exponentielle qui s’écrit sous la forme [19] 23 Chapitre 1 Les matériaux composites et les matériaux à gradient fonctionnel (1-9a) (1-9b) La variation du module de Young à travers l’épaisseur de la plaque E-FGM est représentée sur la (Fig.1.16). Fig. 1.16 Variation du module de Young à travers l’épaisseur (E-FGM) 1.16 Conclusion Avec la naissance d’un nouveau matériau composite (matériau à gradient fonctionnel) et son utilisation dans cette thèse, ce chapitre dédie à présenter le positionnement du problème. Une présentation générale sur les matériaux composites et le rôle des différentes phases (fibre, interface, matrice…) y est faite avec ses avantages et ses inconvénients. Les mécanismes de rupture des composites sont ensuite abordés en insistant sur le phénomène de délaminage. Puis nous avons défini les matériaux à gradient fonctionnel « FGM », l’histoire de leur développement, leurs propriétés, leur conception ainsi leurs différents domaines d’application dans les structures spéciales en génie civil. 24 Chapitre 2 Revues des travaux antérieurs sur la modélisation des FGM Chapitre 2 Revue des travaux antérieurs sur la modélisation des FGM 2.1 Introduction Les matériaux à gradient fonctionnel (Functionally Graded Materials : FGM) ou les matériaux fonctionnellement gradués c’est une nouvelle classe de matériaux composites dont la microstructure et la composition varient graduellement et continûment avec la position de manière à optimiser les performances mécaniques et thermiques de la structure qu’ils constituent. Ils sont considérés comme des matériaux intelligents dont les fonctions désirées sont intégrées, dès la conception, au cœur même de la matière. A chaque interface, le matériau est choisi selon les applications spécifiques et les charges environnementales. Ces matériaux possèdent de multiples avantages qui peuvent les rendre attractifs du point de vue de leur potentiel d’application. Il peut s’agir de l’amélioration de la rigidité, de la tenue à la fatigue, de la résistance à la corrosion ou de la conductivité thermique en plus d’avoir une gradation des propriétés permettant ainsi d’augmenter ou de moduler des performances telles que la réduction des contraintes locales. Cette étude bibliographique présente quelques travaux réalisés sur les structures fabriquées en FGM, en utilisant la méthode des éléments finis pour souligner l’ampleur qu’a pris ces nouveaux matériaux durant les deux dernières décennies. 2.2 2.2.1 Structure de poutre FGM Etudes sur les problèmes élastiques statiques des poutres en FGM Un nouvel élément de poutre basé sur la théorie du premier ordre (la théorie de Timoshenko) a été développé pour étudier le comportement élastique des poutres FGM par Chakraborty et al. [20]. Chakraborty et al. [21] ont employé la fonction de loi de puissance, et la fonction exponentielle pour décrire la distribution des propriétés matérielles des structures 25 Chapitre 2 Revues des travaux antérieurs sur la modélisation des FGM FGM. Kapuria et al. [22] ont présenté un modèle d'élément fini pour les réponses statiques et de vibration libre d’une poutre FGM, par l’utilisation de la théorie du troisième ordre pour estimer le module d'élasticité effectif, et sa validation expérimentale pour deux systèmes différents d’un FGM sous divers conditions aux limites. Kadoli et al. [23] ont proposé un modèle précis d’élément fini basé sur une approximation de troisième ordre de déplacement axial et un déplacement transversal constant pour l'analyse statique des poutres FGM en métal-céramique. La fraction volumique des composants était supposée varier selon une fonction de loi de puissance. Une approche de couche discrète a été adoptée pour tenir en compte la gradation du matériau. Autant que des solutions d'élasticité sont concernées. Shi et al. [24] ont présenté l’élément fini quasi-conforme pour l'analyse de flexion des poutres composites à l'aide des théories d’ordre élevé. Kutis et al. [25] ont présenté une procédure d'éléments finis pour modéliser une poutre FGM avec une variation spatiale des propriétés matérielles. En utilisant la méthode des éléments finis, Pindera et Dunn [26] ont évalué la théorie d'ordre élevé en effectuant une analyse détaillée des éléments finis en FGM. Ils ont constatés que les résultats (HOTFGM = Higher-Order Theory for Functionally Graded Materials) coïncident bien avec les résultats FEM. Aussi, Reddy [27] a conçu un modèle d'élément fini super convergent pour les problèmes statiques des poutres de Timoshenko. Chen et ces collaborateurs [28], ont développé une intégration nodale stabilisée pour la méthode de maillage de Galerkin afin d'obtenir une plus grande efficacité avec la précision souhaitée et les propriétés convergentes, une stabilisation de la déformation est introduite pour calculer la déformation nodale par une contrepartie de divergence d'une moyenne spatiale de la déformation. Liu et al. [29] ont récemment développé avec succès une famille lustrée MEF (S-FEM = Smoothed FEM). Il existe différentes types tels que: une cellule / élément basé sur la méthode des éléments finis (CS- FEM = Cell Smoothed FEM) [30] ; un bord basé sur la méthode des éléments finis (ES- FEM = Edge Smoothed FEM ) [31, 32]; un nœud basé sur la méthode des éléments finis (NS- FEM = Node Smoothed FEM ) [33, 34] et qu'une surface basée sur la méthode des éléments finis (FS- FEM = Face Smoothed FEM) [35, 36]. Concernant le modèle NS- FEM, il est essentiellement formulé à base d'un opérateur de déformation lisse sur des domaines lisses associés avec les nœuds des éléments. Tous les éléments adjacents autour du nœud. Par conséquent, le nombre de nœuds de support vers un domaine lisse est plus important que celui dans l'élément. Cela conduit à une augmentation de la bande passante de la matrice de rigidité dans le modèle NS-FEM, et le coût de calcul et donc devient plus élevé que ceux de la FEM standard avec les mêmes ensembles des nœuds. 26 Chapitre 2 Revues des travaux antérieurs sur la modélisation des FGM Les grandes déflexions des poutres coniques FGM soumises à des forces d'extrémité sont étudiées par Nguyen et Gan [37] en utilisant la méthode des éléments finis. Les propriétés des matériaux des poutres sont supposées varier à travers l'épaisseur selon une distribution de loi de puissance. Par l’utilisation d’un élément fini para-linéaire, Wood et Zienkiewicz [38] ont calculé la réponse de grand déplacement d'une colonne non uniforme soumise à une force de compression axiale excentrique. Nguyen [39] a étudié par la méthode des éléments finis, la réponse de grand déplacement des consoles-coniques en matériau à gradation fonctionnel. L’étude de Yu et Chu [40] a été consacré à l’analyse statique et dynamique des poutres FGM en utilisant la méthode des éléments finis. Murin et Kutis [41] ont été introduit un nouvel élément fini de poutre Euler-Bernoulli 3D pour l’analyse des poutres avec une variation graduelle et continue à travers la section transversale. 2.2.2 Etudes sur les problèmes de vibration des poutres FGM Aussi par l’utilisation de la méthode des éléments finis, Elshorbagy et al. [42] ont étudié les caractéristiques des poutres Euler-Bernoulli pour la vibration libre des poutres FGM à la fois axialement et transversalement à travers l'épaisseur de la poutre. En adoptant la méthode de Ritz, Aminbaghai et al. [43] ont étudié la vibration libre des poutres FGM avec une variation polynomiale spatiale continue de propriétés matérielles par une quatrième équation différentielle de la théorie du deuxième ordre, Oz [44] a calculé les fréquences naturelles d'une poutre Euler-Bernoulli avec une masse concentrée en utilisant la méthode des éléments finis avec différentes conditions aux limites. Mohanty et al. [45] ont étudié l'instabilité dynamique des poutres ordinaire à gradient fonctionnel (FGO = Functionally Graded Ordinary) et la poutre sandwich FGM (FGSW = Functionally Graded Sandwich Beam) repose sur une fondation de type Winkler en utilisant la méthode des éléments finis. Shahba et al. [46] ont étudié la vibration libre et l’analyse de stabilité des poutres coniques FGM de Timochenko selon des conditions aux limites classiques et non classiques et à travers une approche d’élément fini. Les premières publications réalisées sur l'analyse des vibrations par élément fini des poutres ont été présenté par Mei [47-49]. Venkateswara et al. [50] ont formulé les grandes amplitudes des vibrations libres des poutres et des plaques par la linéarisation des termes quadratiques dans les relations contraintes-déplacements. Cependant, ils ont ignoré l'effet du déplacement axial. Après, des efforts énormes ont été fait sur la recherche des solutions d’élément fini pour ce problème. Gupta et al. [51] ont présenté une formulation élément fini relativement simple donnant les fréquences naturelles non linéaires des poutres d'Euler-Bernoulli avec des 27 Chapitre 2 Revues des travaux antérieurs sur la modélisation des FGM supports d'extrémité de tout type. Leur formulation commence avec une hypothèse de la (SHM = Simple Harmonic Motion) et par conséquent corrigée par l'application de la méthode du bilan harmonique (HBM = Harmonic Balance Method). Ensuite, ils ont continué leur travail et ont étudié le même problème basé sur la théorie de Timoshenko [52]. M. Hemmatnezhad et al. [53] ont étudié l'analyse de vibration libre à grande amplitude des poutres à gradient fonctionnel à l’aide d'une formulation par éléments finis. Les relations de type non linéaires de déformation - déplacement de Von-Karman sont employées lorsque les extrémités de la poutre sont contraints de se déplacer axialement. Les effets de cisaillement transverse et de l'inertie de rotation sont inclus sur la base de la théorie des poutres de Timoshenko. Les propriétés du matériau sont supposées être variées dans le sens de l'épaisseur selon une distribution de loi de puissance. Les caractéristiques dynamiques d’une poutre FGM dans laquelle les propriétés des matériaux changent soit dans une direction axiale ou le long de l'épaisseur suivant une loi de puissance sont étudiées par Sudhanwa et al. [54]. Le système résultant des équations différentielles ordinaires d'analyse de vibration libre sont résolus en utilisant une méthode analytique. La méthode des éléments finis est utilisée pour discrétiser le modèle et obtenir une approximation numérique d'équation de mouvement. Le modèle a été vérifié avec les articles déjà publiées et ils ont trouvé une bonne conformité avec eux. Mohammad Azadi [55] a étudié une méthode d'élément fini (FEM) pour la vibration latérale libre et forcée des poutres en matériau à gradation fonctionnel avec différents conditions aux limites et les fréquences naturelles ont été obtenues. Ses résultats ont été comparés avec la solution analytique et les résultats des logiciels ANSYS et NASTRAN. Les résultats numériques ont été obtenus pour montrer l'influence et la dépendance de la température des propriétés matérielles, la distribution de la fraction de volume, les paramètres géométriques et les conditions aux limites. 2.2.3 Etudes sur les problèmes de flambement des poutres FGM Les méthodes de recherche couramment adoptées dans l'analyse post-flambement des structures comprennent l’analytique, le semi-analytique et la méthode des éléments finis [5658]. Malekzadeh et Karami [59] ont exploité une méthode quadrature différentielle mixte et la méthode des éléments finis pour étudier les vibrations et les comportements de flambement des structures analogues à des poutres sur des fondations élastiques. 28 Chapitre 2 2.3 Revues des travaux antérieurs sur la modélisation des FGM Structure de plaque FGM 2.3.1 Etudes sur les problèmes élastiques statiques des plaques FGM En 2000, Reddy [60] a présenté une formulation théorique et des modèles d'éléments finis basé sur la théorie du troisième ordre pour analyser des plaques FGM. Ray et Sachade [61] ont l’intention de présenter un modèle d'élément fini de plaque (FGM) intégré avec une couche de matériau composite renforcés par une fibre piézoélectrique (CIPF = Piezoelectric Fiber Reinforced Composite). Une telle approximation peut prédire les déplacements globaux et les moments fléchissant avec une précision suffisante [62, 63]. Des études, analytiques et par éléments finis sur l'analyse de la flexion des plaques FGM sont récemment disponibles dans la littérature en utilisant les théories de la plaque 2-D. Récemment, en considérant la surface physique neutre, Zhang, Zhou [64] ; Prakash et al. [65] ont présenté l'analyse analytique et l'analyse d’élément fini des plaques FGM, respectivement. H. Nguyen Xuan et al. [66] ont présenté une approche numérique efficace qui repose sur la combinaison de la nœud-base de déformation lisse avec un écart de cisaillement discrèt d’une plaque triangulaire pour la statique, la vibration libre et l’analyse de flambement mécanique/thermique des plaques FGM. A. Taghvaeipour et al. [67] ont prolongé le nouvel élément super-cylindrique vers un matériau à gradient fonctionnel et la procédure d'extraction de la matrice de rigidité et la matrices de masse d’un élément est complètement illustrée. En utilisant les matrices élémentaires, plusieurs chargements et des conditions aux limites sont étudiés pour les cylindres FG, et les déformations qui en résulte, les contraintes et les fréquences naturelles sont comparés avec les éléments finis conventionnel et les résultats analytiques. Parveen et Reddy [68] ont étudié la réponse des plaques FGM en utilisant la FEM prenant en compte l’effet de cisaillement transverse, l’inertie de rotation et les rotations modérées au sens de Von Karman. La variation des propriétés est définie selon une loi de puissance à travers l'épaisseur et les comparaisons ont été faites avec des plaques isotropes homogènes. Sadowski et al. [69] ont élaboré des modèles numériques des parties structuraux d'avions fabriqué en différents composites. L’analyse par élément fini de la réponse mécanique des éléments structuraux ont été comparés avec des modèles analytiques simplifiés formulées précédemment. Nguyen et al. [70] ont formulé ES-DSG (Edge-based Smoothed Discrete Shear Gap Method) pour les analyses : statique, vibration libre et de flambage des plaques (FGM). 29 Chapitre 2 2.3.2 Revues des travaux antérieurs sur la modélisation des FGM Etudes sur les problèmes de vibration des plaques FGM L'élément de type Mindlin et l’élément de type Reissner ont été développé pour la modélisation des plaques composites (FGC = Functionally Graded Composite) soumis au flambement et à la vibration libre par Oyekoya et ses collaborateurs [71]. Les caractéristiques de vibration des plaques FGM avec une grande amplitude ont été étudiées en utilisant la plaque de haute précision à quatre nœuds par Prakash et al. [72]. Sundararajan et al. [73] ont développé une formulation non linéaire basée sur les hypothèses de Von-Karman pour étudier les caractéristiques de vibration libre des plaques FGM dans un environnement de haute température. Ils ont obtenu des équations non linéaires en utilisant les équations du mouvement de Lagrange et résolus en utilisant la MEF, couplé avec la technique itérative directe. L’analyse de vibration libre à grande amplitude des plaques (FGM) est examinée par Talha et Singh [74] .Les équations non linéaires des éléments finis sont obtenues en utilisant les théories de déformation de cisaillement à ordre élevé avec une modification spéciale dans le déplacement transversal. Batra et Jin [75] ont utilisé la théorie de déformation de cisaillement du premier ordre associée avec la méthode des éléments finis pour étudier les vibrations libres d’une plaque rectangulaire anisotrope en FGM. La vibration libre et l'analyse statique d’une plaque à gradient fonctionnel (FGM) sont étudiées en utilisant la théorie d’ordre élevé de déformation de cisaillement avec une modification spéciale dans le déplacement transversal en conjonction avec des modèles d’éléments finis par Talha et Singh [76]. Les caractéristiques asymétriques de vibration libre et la stabilité thermo-élastique des plaques circulaires en FGM sont examinées par Prakash et al. [77] en utilisant la procédure des éléments finis. Ramu I et al. [78] ont visé à effectuer une analyse modale d'une plaque à gradient fonctionnel (FGM) pour déterminer les fréquences et les modes naturelles en utilisant la méthode des éléments finis (FEM). L'analyse modale des plaques FGM a été codée sur le logiciel MATLAB. Fakhari et al. [79] ont présenté une formulation d'éléments finis basé sur (HOST = A Higher Order Shear Deformation Theory) pour analyser les fréquences naturelles non linéaires et le temps de réponse de la plaque FGM. Ils ont utilisé la relation de Von Karman pour tenir en compte la grande déformation de la plaque. Dans cette étude, les propriétés matérielles des FGM changent dans le sens de l'épaisseur suivant la loi de puissance en termes de fraction volumique des constituants. 30 Chapitre 2 2.3.3 Revues des travaux antérieurs sur la modélisation des FGM Etudes sur les problèmes de flambement des plaques FGM L'influence de la fondation élastique de type Winkler est considéré par Shariyat et demi [80], les propriétés du matériau sont supposés orthotrope dans le plan et hétérogène transversalement. Prakash et al. [81] ont étudié le comportement post-flambement des plaques obliques en FGM sous une charge thermique basé sur la méthode des éléments finis de déformation de cisaillement. La fraction de volume et les propriétés des matériaux constitutifs ont été estimé en utilisant la méthode d'homogénéisation de Mori-Tanaka. La température a été supposée varier de façon exponentielle à travers l'épaisseur et le coefficient de poisson est supposé être constant. 2.4 Conclusion Les matériaux à gradient fonctionnel sont des matériaux composites formés de deux ou plusieurs phases constitutives avec une composition variable et continue dans l’espace. Ils possèdent un certain nombre d'avantages qui les rendent intéressant dans des applications potentielles. Durant les deux dernières décennies, beaucoup de travaux ont été consacrés à ces matériaux et il est prudent de réduire la recherche bibliographique dans ce chapitre en se concentrant sur les travaux dédiés aux problèmes liés aux poutres et plaques en FGM en utilisant la méthode des éléments finis réalisée dans cette période. Le but ici étant de montrer l’étendue du domaine de recherche dans le contexte des FGM et qu’il y a encore beaucoup à faire dans cet axe de recherche. 31 Chapitre 3 La méthode des éléments finis Chapitre 3 La méthode des éléments finis 3.1 Introduction Dans les années 1960, grâce au développement de l’informatique, de nombreux secteurs industriels et en particulier celui de l’aéronautique, ont vu apparaitre un nouvel outil de production devenu, aujourd’hui, incontournable : la Conception Assistée par Ordinateur (CAO). En conception et validation des structures la méthode des éléments finis est certainement la méthode la plus répandue et la plus utilisée de nos jours. L’intérêt des éléments finis est qu’ils représentent un outil puissant d’analyse numérique pour arriver à des solutions approchées des problèmes que rencontrent les ingénieurs, qui ne cherchent plus des solutions exactes et fermes car elles nécessitent énormément d’efforts intellectuels et de temps, lorsqu’elles sont possibles. Cette étape dans la production d’une pièce consiste à placer virtuellement celle-ci dans l’environnement ou elle est censée évoluer pour analyser son comportement sans avoir recours à l’expérimentation. Pour ce faire, il est nécessaire en premier lieu de créer une maquette informatique virtuelle (modélisation) de l’objet à analyser et dans un second lieu de résoudre les équations physiques qui régissent les interactions de cet objet avec les sollicitations extérieures auquel il est sollicité. La solution exacte de tels problèmes est généralement impossible à calculer ; c’est pourquoi on a souvent recours à des méthodes de résolutions numériques conduisant seulement à des solutions approchées du problème. Parmi celles-ci, la méthode des éléments finis qui s’est imposée par sa robustesse et sa flexibilité. Elle est actuellement utilisée pour résoudre des problèmes divers et variés tels que ceux de la mécanique des solides, de la thermique de l’électromagnétisme…etc. Mais celui qui nous intéresse, dans ce travail, est celui de la mécanique des milieux continus. 32 Chapitre 3 3.2 La méthode des éléments finis Généralités sur la mécanique des milieux continus et la méthode des éléments finis (MMC et MEF) 3.2.1 Cinématique des milieux continus Soit un corps solide quelconque ayant une configuration initiale . Ce corps, soumis à différentes sollicitations, se transforme au cours du temps. A un instant t quelconque, il prend une nouvelle configuration appelée (Fig.3.1). Donc dans un repère cartésien global O(x, y, z) un point matériel quelconque Mo appartenant est repéré par le vecteur des coordonnées . A l’instant t le point Mo devient un nouveau point Mt appartenant au domaine qui est maintenant repéré par le à un domaine vecteur des coordonnées . Fig.3.1 Cinématique des milieux continus Dans le cadre d’une description lagrangienne, on a : (3-1) Où le vecteur est appelé le déplacement du point Mo. En écrivant : ; ; (3-2) Le tenseur gradient décrivant la transformation est défini comme suit : (3-3) 33 Chapitre 3 La méthode des éléments finis Ou encore (3-4) Si on peut écrire que , alors après calcul on a : (3-5) (3-6) Ainsi on remarque que la matrice petites déformations et représente le tenseur des déformations linéarisées ou représentent les rotations infinitésimales autour des axes x, y, z qui ne produisent aucune déformation. 3.2.2 Les conditions de compatibilité cinématique Ces conditions [82] ont été établies par Saint Venant (1854). Physiquement, elles expriment la continuité de la matière avant et après transformation d’un corps solide, d’où l’appellation de conditions de compatibilité cinématique. Mathématiquement, elles expriment des restrictions sur la forme des fonctions des déformations pour permettre l’intégration des équations aux dérivées partielles. De ce fait, elles sont, également appelées conditions d’intégralité. Leur satisfaction est obligatoire pour garantir l’unicité des déplacements. En état tridimensionnel, les six équations de compatibilité sont sous forme développée comme suit : 34 Chapitre 3 La méthode des éléments finis (3-7) En élasticité plane et en état plan de déformations, cinq équations sont automatiquement vérifiées. La sixième condition qui doit être vérifiée est: (3-8) Pour le cas de l’état plan de contraintes, trois autres équations doivent être en plus vérifiées : , 3.2.3 , , (3-9) Contraintes, équations d’équilibre et déformations 3.2.3.1 Etat de contraintes Soit un corps (C) en équilibre sous l’action de forces extérieures. En tout point M de ce corps naissent des forces intérieures de cohésion et de frottement. Fig.3.2 Si Corps en équilibre est la résultante des forces qui s’exercent sur l’élément de surface dde normale au point M (Fig.3.2), le vecteur des contraintes est définie par le postulat de Cauchy : (3-10) Ainsi en fonction de l’orientation de , il existe une infinité de vecteur de contraintes au point M. Si on considère un repère cartésien O(x, y, z), les vecteurs contraintes agissant sur les 35 Chapitre 3 La méthode des éléments finis du repère sont notés respectivement σ facettes de normales, , , et , . Leurs composantes sont définies en coordonnées cartésiennes comme suit : σ σ (3-11) σ Le tenseur des contraintes de Cauchy au point M est ainsi défini comme suit : (3-12) En l’absence de couples répartis à l’intérieur et à la surface du solide, l’équilibre des moments autour des axes passant par M, conduit à : (3-13) Ce qui permet de conclure que le tenseur des contraintes de Cauchy est symétrique. Ainsi le vecteur composantes ; , axial , , des contraintes se résume à six . Pour un état bidimensionnel, plusieurs hypothèses peuvent être envisagées. On cite entre autres l’état plan de contraintes et l’état plan de déformations. * En état plan de contraintes, l’hypothèse considérée suppose que les contraintes hors plan sont nulles. C’est-à-dire, par rapport à un plan de référence (O, x, y), les composantes des contraintes , , sont nulles sur les deux faces de coordonnées . Sur les autres plans intérieurs parallèles au plan (x, y), la valeur de ces composantes est tellement faible qu’on peut affirmer qu’elles sont nulles. On en déduit, ainsi que : (3-14) et L’hypothèse des contraintes planes est généralement admise pour le calcul des structures minces (poutres, plaques et coques) où l’axe « O, z » représente la direction de l’épaisseur h. * En état plan de déformations, l’hypothèse considérée suppose que les déformations hors plan sont nulles. C’est-à-dire ce qui entraine et (3-15) Cette hypothèse peut être utilisée pour l’analyse des sections des cylindres longs dans la direction z. Comme, elle s’adapte bien pour l’étude du profil d’un barrage. 36 Chapitre 3 La méthode des éléments finis 3.2.3.2 Equations d’équilibre Si le solide est soumis dans la configuration actuelle forces surfaciques imposés à des sollicitations comme des appliquées sur une partie de la frontière appliqués sur une partie de la frontière , des déplacements et des forces volumiques , l’équilibre du système s’écrit comme suit : (3-16) , , Avec la somme des parties de frontière de et représente la frontière totale fermée . 3.2.3.3 Tenseur des déformations Concernant des structures subissant des transformations élastiques caractérisées par de grands déplacements et de petites déformations pour lesquelles on utilise la mesure des déformations de Green-Lagrange linéarisées : (3-17) Ou encore : 3.2.4 (3-18) Loi de comportement Le comportement d’un matériau donné est défini par sa loi constitutive (ou de comportement) qui met en relation les contraintes avec les déformations et ses variables 37 Chapitre 3 La méthode des éléments finis mécaniques intrinsèques internes. Pour un matériau dit élastique linéaire, les contraintes sont des fonctions linéaires des déformations. Ces relations sont données sous la forme générale suivante : (3-19) Où : - est le tenseur des contraintes à l’état initial qu’on suppose nul pour simplifier l’écriture du problème - C est un tenseur de comportement d’ordre 4 dont les composantes font intervenir les caractéristiques physiques intrinsèques du matériau. Etant donné que les tenseurs σet sont symétriques, on a alors et Ceci permet de réécrire la loi de comportement, en notation de Voigt, comme suit : (3-20) Où C est la matrice de comportement de taille 6x6, c’est-à-dire ayant 36 composantes. Les tenseurs et sont ceux donnés dans les formules (3.12) et (3.18). En élasticité tridimensionnelle, la matrice de comportement d’un matériau élastique, linéaire et isotrope prend la forme suivante : (3-21) Où E et sont respectivement, le module de Young et coefficient de poisson du matériau considéré. Pour un état bidimensionnel, la matrice de comportement C se réduit à une taille de 3x3 pour fournir les composantes suivantes : * à l’état plan de contraintes, (3-22) 38 Chapitre 3 La méthode des éléments finis * à l’état plan de déformations, (3-23) 3.2.5 Principe des travaux virtuels Le principe consiste à satisfaire l’équation d’équilibre locale sous forme intégrale (On dit aussi sous forme faible). Ainsi, « pour tout champs de déplacements virtuels cinématiquement compatibles, le travail virtuel des forces extérieures est égal au travail virtuel intérieur . Cet équilibre s’exprime par la relation : (3-24) : représente la variation de l’énergie de déformation. : représente la variation de l’énergie des forces extérieures, dans laquelle 3.2.6 est le vecteur des forces de volume et est le vecteur des forces de surface. Principe des travaux virtuels complémentaires Ce principe s’annonce comme suit : pour tout accroissement virtuel statiquement admissible des contraintes et des forces, « le travail virtuel complémentaire des forces extérieures est égal au travail virtuel complémentaire intérieur ». Cet équilibre s’exprime par la relation : (3-25) : représente la variation de l’énergie de déformation. : représente la variation de l’énergie des forces extérieures, dans laquelle 3.3 est le vecteur des forces de volume et est le vecteur des forces de surface. La méthode des éléments finis en déplacement Dans cette approche, l’approximation est faite sur le champ de déplacement en considérant l’élément cinématiquement admissible ; c’est-à-dire l’intégrabilité du champ de déformation à l’intérieur de l’élément. La démarche à ce niveau repose sur trois principales actions : - La définition d’une forme paramétrique simple du champ de déplacement (discrétisation fonctionnelle) à l’intérieur des éléments finis de la structure. 39 Chapitre 3 La méthode des éléments finis - L’application à chacun des éléments le principe des travaux virtuels à travers la satisfaction des conditions de stationnarité de la fonctionnelle pour chacun des éléments. Ces conditions sont une forme faible des équations d’équilibre. Elles permettent de relier, par l’intermédiaire de la raideur de l’élément, les paramètres de la discrétisation aux grandeurs équivalentes des forces qui s’applique sur l’élément. - L’assemblage des matrices de rigidité ainsi obtenues au niveau élémentaire conduit à un système d’équations qui traduit les conditions de stationnarité de la fonctionnelle de la structure dans sa globalité. Les principes et les étapes de cette approche se présentent comme suit : 3.3.1 Discrétisation du champ de déplacement Soit un élément , la discrétisation fonctionnelle du champ de déplacement u à l’intérieur de l’élément est donnée sous forme matricielle par la relation : (3-26) Où représente le vecteur des déplacements nodaux et la matrice des fonctions de forme de l’élément. Dans le cas général en tridimensionnel et pour un élément possédant n nœuds, la matrice des fonctions de forme s’écrit sous forme développée comme suit : (3-27) Avec la fonction de forme du nœud k. Et le vecteur des déplacements nodaux s’écrit : (3-28) 3.3.2 Application du principe des travaux virtuels (ou principe des déplacements virtuels) Cette méthode demande l’application du principe des déplacements virtuels (ou des travaux virtuels) exprimé par la relation dont le développement est donné par la relation suivante : (3-29) Sachant que : 40 Chapitre 3 La méthode des éléments finis (3-30) est la matrice de déformation La relation (3-29) devient : (3-31) Ou encore (3-32) La relation (3-32) s’écrit simplement Avec et qui représentent, respectivement la matrice de rigidité élémentaire et le vecteur des charges aux nœuds équivalents aux forces extérieures. 3.3.3 Assemblage des éléments Les matrices élémentaires matrice de rigidité globale sont ensuite assemblées, de manière à obtenir la de la structure. La résolution du système global fournit les valeurs des déplacements des différents nœuds qui déterminent le maillage de la structure. Finalement par l’intermédiaire des déformations, on obtient l’expression des contraintes aux nœuds : (3-33) 3.4 La méthode des éléments finis en déformation Le problème de convergence d’éléments simples formulés à travers l’approche en déplacement pour l’analyse des structures courbes ont montré la nécessité d’intervention au niveau de la discrétisation physique pour améliorer au mieux la solution. Cette intervention consiste en la diminution de la taille des éléments (raffinement h) pour obtenir des résultats satisfaisants ; l’objectif étant de minimiser l’écart entre la solution exacte et la solution approchée et tendre asymptotiquement vers zéro l’erreur qui en résulte. Ceci rend le niveau de précision de la solution tributaire du nombre d’éléments à utiliser dans la discrétisation physique. Ce qui pose à ce niveau une problématique en terme économique dans sa mise en œuvre : Quel rapport entre « la précision de la solution » et « le coût pour son obtention » ? 41 Chapitre 3 La méthode des éléments finis Pour répondre à ce questionnement, d’autres études ont été entreprises par Ashwell et al. [83], utilisant cette fois-ci le modèle en déformation à la place du modèle en déplacement. Cette approche a abouti à des résultats plus performants sans avoir recours à un grand nombre d’éléments dans la discrétisation physique. Ces résultats ont encouragé beaucoup de chercheurs pour développer des éléments d’ordre supérieurs, des éléments nécessitant uniquement les degrés de liberté essentiels. Ainsi beaucoup d’éléments finis d’élasticité plane et des éléments de coques ont vu le jour. On cite entre autres [84], [85], [86], [87], [88], [89], [90], [91], [92]. 3.4.1 Hypothèses et démarche - Calcul exact des termes représentant les modes de corps rigides, - Choix des termes du champ des déformations de sorte que les conditions de compatibilité cinématique soient vérifiées, - Déduction des composantes du champ des déplacements par intégration des fonctions du champ de déformations, ce qui rend plus riche les polynômes (ordre supérieur) décrivant les champs des déplacements, - Application du principe des travaux virtuels (PTV), - Recherche de satisfaction du critère de complétude au niveau du champ de déformations. 3.4.2 Principe de formulation Dans cette approche, l’approximation est faite sur le champ des déformations en considérant l’élément cinématiquement admissible; c’est-à-dire la continuité et l’intégrabilité du champ de déformation à l’intérieur de l’élément. La démarche à ce niveau consiste à : - Choisir, en premier lieu, une forme paramétrique simple du champ de déformations (discrétisation fonctionnelle) à l’intérieur des éléments finis de la structure. - Le champ des déplacements est déduit, en second lieu, par intégration du champ des déformations. - Il est, enfin, appliqué à chacun des éléments le principe des travaux virtuels. En considérant la continuité du champ de déplacement dans toute la structure, l’assemblage des fonctionnelles, ainsi obtenues au niveau élémentaire, conduit à un système d’équations qui traduit les conditions de stationnarité de la fonctionnelle dans la structure dans sa globalité. 42 Chapitre 3 3.4.3 La méthode des éléments finis Procédure de formulation Pour un élément membranaire similaire, les relations entre les déformations et les déplacements sont établies comme suit : (3-34) La rotation autour de la normale est donnée par la relation : (3-35) Le choix des fonctions d’interpolation est établi en deux étapes : - La première, permettant de représenter les modes de corps rigides (MCR), - La seconde, permettant de représenter les modes supérieurs, particulièrement ceux donnant des états de déformations homogènes. Pour les modes de corps rigides, les fonctions d’interpolation des déplacements doivent permettre à l’élément de subir un mouvement sans déformation interne. Ce critère est essentiel, puisque : - D’une part, il permet de représenter la réalité du comportement des structures, - Et d’autre part, il évite la lenteur dans la convergence vers la solution exacte qui se produit s’il n’est pas respecté Ainsi, pour les mouvements de corps rigide (MCR), les déformations sont nulles : (3-36) L’intégration des équations (3-36) nous donne les champs des déplacements représentant les mouvements de corps rigide qui se présentent comme suit : (3-37) Avec et , des paramètres représentant les translations u et v du corps rigide respectivement le long des axes x et y et la normale (drilling rotation) représentant la rotation du corps rigide autour de . Notre élément est constitué de quatre nœuds. Chacun de ses nœuds possède trois degrés de liberté. Donc les champs de déplacement, formulés par l’utilisation du modèle en déformation, possèdent 12 constantes indépendantes ( Les trois premières ( , , . ……, ). ) sont utilisées dans les équations (3-37) pour représenter les mouvements de corps rigide. Les neufs autres ( , ……. , ) sont utilisés dans le modèle de déformation de l’élément. Ils sont répartis dans les fonctions d’interpolation des déformations de manière à : - satisfaire l’équation générale de compatibilité des déformations pour l’élasticité plane, 43 Chapitre 3 La méthode des éléments finis - et éviter la singularité de la matrice des coordonnées nodales de l’élément. Ainsi les champs des déformations sont établis comme suit : (3-38) Ce champ se caractérise par : - l’existence d’états de déformations constantes qui assurent la convergence lorsqu’on raffine le maillage, représentés par les constantes , , . - l’existence d’états de déformation linéaires au niveau des dilatations ( , les paramètres et ), représentés par . - Un état de déformation bilinéaire des distorsions ( et aussi par les paramètres et ), représenté par les paramètres , qui mettent en dépendance les distorsions avec les dilatations. - Des états de déformations non linéaires (en y pour , et en x pour ) permettant la satisfaction du critère de complétude des champs des déplacements et le changement de courbure des déformées. Ces états sont représentés par les paramètres et . - La satisfaction de l’équation générale de compatibilité des déformations : (3-39) L’intégration des équations (3-38) nous donne les champs des déplacements suivants: (3-40) Le champ de déplacement final est obtenu en additionnant les relations (3-37) et (3-40) (3-41) Une fois le champ des déplacements défini, le reste des étapes de formulation pour la construction de la matrice de rigidité élémentaire, d’assemblage et de résolution sont similaires que ceux de l’approche en déplacement. 3.4.4 Ses avantages - Facilité de la mise en œuvre, au même titre que le modèle en déplacement, 44 Chapitre 3 La méthode des éléments finis - Satisfaction absolue des critères de convergence liés aux déformations : mode de corps rigide et mode de déformation constante, - Pour un même élément fini, obtention de champ de déplacement plus riche et avec des polynômes ayant des termes d’ordre élevé, comparativement à ceux résultant du modèle en déplacement, - Meilleure précision dans l’approximation des déformations et des contraintes que celle du modèle en déplacement où ces variables sont obtenues par dérivation du champ de déplacement provoquant ainsi une dégradation de leur approximation, 3.5 Conclusion Le calcul des structures complexes nécessite de mettre en place des outils de modélisation du comportement mécanique de plus en plus performant, et prenant en compte les spécifications de ces matériaux-structures. Du point de vue pratique, les méthodes numériques, notamment le calcul par la méthode des éléments finis est essentiel pour la conception et le calcul de ces structures complexes. Les objectifs recherchés dans ce chapitre visent à mettre en relief les principes et les méthodes théoriques de base à notre développement. Ainsi, les aspects traités concernant le domaine de la mécanique des milieux continus et la méthode des éléments finis à travers les deux approches en déplacement et en déformation ; utilisés pour l’étude des poutres FGM et des coques FGM, respectivement. 45 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel 4.1 Structure de poutre De manière générale, un élément de structure sera de type poutre si l'une de ses dimensions (la longueur) est supérieure devant les deux autres. Il est à noter que ce type d'élément appelé élément "barre" quand les forces extérieures sont axiales.  Hypothèses cinématiques de la théorie des poutres L'hypothèse cinématique fondamentale de la théorie des poutres est l'hypothèse de Navier. (Navier -Bernoulli et Navier -Timoshenko) : "toute section droite de la configuration de référence est supposée rester plane et inaltérée au cours du mouvement". L'hypothèse de Navier s'énonce aussi de la façon équivalente suivante : "toute section droite est considérée comme ayant un mouvement de solide indéformable". L'hypothèse d'Euler- Bernoulli énonce que la section droite de la poutre est indéformable reste plane et perpendiculaire à la fibre moyenne avant et après déformation, et la déformation transversale est nulle. L'hypothèse de Timoshenko énonce que la section droite de la poutre est indéformable ne reste pas perpendiculaire à la fibre moyenne après déformation (il y a une rotation de la section droite), et l'effet de cisaillement n'est pas nul et pris en compte.  Remarques importantes 1) L'hypothèse énoncée de Navier montre que la section reste plane. Il n'est donc pas imposé a priori que la section reste perpendiculaire à la ligne moyenne. 2) L'hypothèse de Navier n'est pas suffisante pour définir l'état de contrainte dans une section droite. Des hypothèses supplémentaires doivent être faites pour passer des "contraintes 46 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel généralisées" (effort normal, effort tranchant, moment fléchissant) aux contraintes en chaque point de la section droite. Dans notre étude on utilise le modèle d’Euler Bernoulli et de Timoshenko. 4.2 4.2.1 Modèle d’Euler Bernoulli Analyse statique 4.2.1.1 Le champ de déplacement La (Fig. 4.1) présente un élément de poutre FGM de Bernoulli. Dont les coordonnées x et y définissent le plan de la poutre, tandis que l’axe z origine à la surface du milieu de la poutre et dans le sens de l’épaisseur. Fig.4.1 Elément de poutre FGM (Bernoulli) Dans la théorie d’Euler-Bernoulli le cisaillement est négligé, le champ de déplacement de n’importe quel point M situé à (x, z) de la poutre s’écrit comme suit : (4-1) (4-2a) Où et ⇒ (4-2b) sont les déplacements ; axial et transversal de n’importe quel point situé au plan médian, l’équation (4-1) peut être réécrite comme suit : (4-3) Et c’est le vecteur de déplacement du point M, 47 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel 4.2.1.2 Le champ de déformation, et les contraintes normales Le champ de déformation est obtenu grâce à la formule suivante (4-4a) (4-4b) est la déformation normale suivant la direction x. Considérant le matériau de poutre FGM obéit à la loi de Hooke, L’expression des contraintes peut être déterminée comme : (4-5a) (4-5b) Avec : Lorsque la variation du module de Young est à travers la direction de l’épaisseur l’équation constitutive des composites exprimées en fonction des efforts de membrane N et des moments M, est donnée par : (4-6a) (4-6b) : Déformation du plan medium, : Les courbures, b : la largeur de la poutre FGM. , , sont respectivement les termes de rigidité de la matrice de membrane, de couplage et de flexion respectivement qui sont données par l’expression suivante : (4-7) 4.2.1.3 La position de l’axe neutre et les contraintes de cisaillement Il est clair que, en raison de la variation du module de Young, l'axe neutre n'est pas au milieu de la section comme pour les poutres isotropes, mais il se déplace du plan médian. Pour déterminer la position de l'axe neutre, on construit un nouveau système de coordonnées 48 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel de telle sorte que le nouvel axe x est positionné au niveau de l'axe neutre, qui sera déterminée comme suit: (4-8) Où, : C’est la distance entre l’axe neutre et le plan médian de la poutre. Dans ce cas et de manière similaire au traitement habituel dans la théorie des poutres (CBT), nous pouvons écrire directement: (4-9) , Où est le déplacement transversal de la poutre FGM. La position de l'axe neutre peut être déterminée en choisissant de telle sorte que la force axiale totale de la section transversale devient nulle: , (4-10) La substitution d'équation (4-8), conjointement avec (4-9) en (4-10) entraînent (4-11) Par changement de l'intervalle de l'intégrale, on obtient: (4-12) Puis (4-13) La position de l'axe neutre peut être déterminée en résolvant l'équation suivante : (4-14) Alors la position de l'axe neutre varie en fonction de divers paramètres du matériau p, cette valeur peut être donnée sur le tableau 4.1 : Tableau 4.1 p 0 Valeur de 1 en fonction du paramètre du matériau 2 3 0 49 4 5 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Avec l'intégration de la première équation des équations d’équilibres différentielles, la relation de la distribution des contraintes de cisaillement peut être dérivée, qui vérifient la nullité des contraintes de cisaillement sur les limites supérieures et inférieures de la structure. L’expression pour les contraintes de cisaillement à une distance suit ou peut être dérivée comme (pour simplicité): → (4-15) 4.2.1.4 Principe des travaux virtuel Le travail virtuel des efforts internes est exprimé par : (4-16) (4-17) (4-18) Rigidité membranaire rigidité flexionnelle rigidité de couplage (4-19) La matrice de rigidité peut être divisée en sous-matrices comme suit : (4-20) : La rigidité membranaire ; : La rigidité de couplage ; : La rigidité flexionnelle. (4-21) (4-22) 50 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel (4-23) (4-24) 4.2.2 Analyse modale L'état d'équilibre de la structure dynamique de vibration libre basé sur le principe des travaux virtuels s’écrit comme suit : (4-25) Avec est le travail virtuel donné par le champ de contrainte et le champ de déformation virtuel: (4-26) En substituant les équations (4-4), et (4-5) dans l’équation (4-26) on trouve : (4-27) Le travail virtuel fait des forces d'inertie dans le champ de déplacement virtuel peut être présenté comme suit : (4-28) Par le remplacement de l’équation (4-3) dans (4-28) on trouve : (4-29) Après le remplacement des équations (4-47), (4-48), et (4-49) dans (4-27) et (4-29), et aussi dans l’équation (4-25) et après intégration nous obtenons l’équation de mouvement suivante : (4-30) : La matrice de masse globale de la poutre. : La matrice de rigidité globale. 4.2.3 Instabilité au flambement Le champ de déformation totale s’écrit comme suit : (4-31) 51 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel : Déformation linéaire : Déformation non linéaire (4-32) L’effet de la non linéarité due au déplacement axial peut dans la plupart du temps être négligé devant la non linéarité due au déplacement transversal de flexion. Donc : (4-33) On peut décomposer en deux parties la première partie linéaire et la deuxième non linéaire : (4-34) [B] = la différentielle de . L'énergie potentielle totale s’écrit comme suite: (4-35) U: L’énergie de déformation élémentaire. W: Travail des forces extérieures élémentaire. : Le travail de la force axiale dans le cas des grands déplacements. L’énergie potentielle des déformations est : (4-36) Avec : et On obtient (4-37) (4-38) 52 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Le travail extérieur produit par les forces nodales réelles est donné comme suit : (4-39) La première variation de l’énergie potentielle totale permet d’obtenir l’expression de l’équation d’équilibre. Soit : (4-40) (4-41) Après l’assemblage on obtient l’équation générale suivante : (4-42) Où : est le vecteur force global et est le vecteur des déplacements global. Le travail de la force axiale donnée par l’expression suivante: (4-43) L’intégrale de cette équation devient : ; : est la matrice de rigidité géométrique avec L’annulation de la deuxième variation de l’énergie potentielle de déformation, permet d’obtenir le problème de valeurs propres suivant : (4-44) Pour qu’il y ait flambage, il faut que , dans ce cas : (4-45) : Paramètre de charge. Finalement la charge critique de flambement est donnée comme suit : (4-46) 53 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel : est la charge critique de flambement. : est le vecteur des charges appliquée. 4.2.4 La formulation élément fini Les composantes de déplacement dans le plan médian d'un élément de poutre sont représentées sur la (Fig.4.2). Fig.4.2 Un élément de poutre Les déplacements en un point de cordonnées x de la poutre sont données par : (4-47) (4-48) (4-49) , , sont : le déplacement axial, le déplacement transversal, et la rotation de chacune des nœuds, respectivement. Sont les fonctions d’interpolation. 4.2.4.1 Les fonctions d’interpolation Les fonctions de forme (les fonctions d’interpolations) sont les fonctions qui relient les déplacements d’un point quelconque intérieur à un élément aux déplacements nodaux qui sont les degrés de liberté dans le cas de l’approche cinématique : il y a pour un élément autant de fonctions de forme que de degré de liberté dans l’élément. Elles assurent le passage du problème continu au problème discret. Les deux fonctions de forme aux deux degrés de libertés de membrane (barre) sont : (4-50a) (4-50b) Les fonctions de formes et ses dérivées de l’élément de poutre plane en flexion simple sont présentées sur le tableau 4.2 : 54 Chapitre 4 Tableau 4.2 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Les fonctions de formes et ses dérivées d’un élément de poutre (flexion simple) 4.2.4.2 La matrice de rigidité 4.2.4.2.1 Rigidité membranaire Soit une barre de longueur L. Les deux fonctions associées aux deux degré de libertés sont : , ⇒ La matrice de raideur (4-51) est définie par la relation suivante : (4-52) 4.2.4.2.2 Rigidité de couplage (4-53) La matrice de couplage est définie par la relation ci-dessous : (4-54) 4.2.4.2.3 Rigidité flexionnelle (4-55) (4-56) 55 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Après la simplification on obtient : (4-57) La matrice de rigidité générale d'un élément de poutre 2-D en FGM est (4-58) L : la longueur de chaque élément. Et les intégrales précédentes deviennent : (4-59) (4-60) (4-61) 4.2.4.3 La matrice de masse 4.2.4.3.1 Partie membranaire La matrice de masse d’un élément de barre est donnée par l’expression suivante : (4-62) (4-63) 56 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel 4.2.4.3.2 Partie flexionnelle La matrice de masse pour un élément poutre à 4 DDL est donnée par : (4-64) Pour un élément poutre à 6 DDL la matrice de masse est la superposition des deux matrices données : (4-65) Avec: (4-66) p est varié de zéro jusqu’à l’infini ∞. 4.2.4.4 Construction de la matrice des contraintes initiales Lors de l’application du théorème des déplacements virtuels, le travail des efforts de la déformation du second ordre conduit à la matrice dite « contraintes initiales ».Elle s’écrit comme suit : (4-67) Après l’intégration de l’équation (4-67) la matrice des contraintes initiales est donnée par : 57 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel (4-68) 4.3 Modèle de Timoshenko Dans le modèle de Bernoulli nous avons opté pour des hypothèses cinématiques excluant le cisaillement. La théorie de Timoshenko prend en considération l’effet de cisaillement transverse. 4.3.1 Analyse statique 4.3.1.1 Le champ de déplacement Le champ de déplacement de n’importe quel point M situé à (x, z) de la poutre s’écrit comme suit : (4-69) Où et sont les déplacements axial et transversal de n’importe quel point situé à l’axe neutre. Les champs de déformation axiale et transversale s’obtiennent respectivement par la formule suivante : (4-70a) (4-70b) L’équation (4-70) peut être écrite sous la forme matricielle comme suit : (4-71a) 58 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Avec (4-71b) , Où ԑ est le vecteur de déformation, est le vecteur de déformation généralisée contenant l’allongement de l'axe de la poutre , La courbure et transverse L'hypothèse et la déformation de cisaillement est la matrice de transformation déformation-déplacement. (la théorie d'Euler-Bernoulli) conduit à la nullité de cisaillement transverse. La théorie de Timoshenko est préférable pour les poutres courtes en raison de la pertinence de la déformation de cisaillement transversale dans ces structures. 4.3.1.2 Les contraintes et les contraintes résultantes Les contraintes normales et de cisaillement sont exprimés à partir des équations (4-71): (4-72a) (4-72b) Où et sont le module de Young longitudinal et le module de cisaillement du matériau FGM. Équation (4-72) peuvent être écrite sous la forme matricielle en utilisant l'équation (4-71) (4-73) Où est la matrice standard constitutive qui relie les contraintes et les déformations d’un point dans la section transversale. L’effort normal , le moment de flexion et la force de cisaillement dans une section de poutre sont obtenus par : (4-74) Où est le vecteur de contrainte résultante, S est la matrice de transformation de l’équation (4-71b) et A est la section transversale. 59 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Fig.4.3 Convention de signe concernant N, M et Q 4.3.1.3 La matrice constitutive généralisée En substituant l’équation (4-73) dans l’équation (4-74) (4-75) Où est le vecteur de déformation généralisée définie dans l'équation. (4-71b) et matrice constitutive généralisée. Les termes de est la sont calculés comme suit : (4-76) ; ; (4-77) Où , , , sont les termes de rigidité de la matrice de membrane, de flexion, de couplage, et de cisaillement , autour de l'axe y, et est le paramètre de correction de cisaillement pour la flexion c’est la largeur de la poutre 4.3.1.4 Le couplage axiale-flexion et l’axe neutre Le terme hors diagonale dans la matrice, provient d'un couplage entre les effets axial et de flexion. Ainsi, une force axiale produit une courbure et un moment de flexion induit un allongement de l'axe de poutre. Ce terme de couplage disparaît dans certaines circonstances, pour lesquelles l'axe x est le soi-disant l’axe neutre. Pour un matériau homogène , = 60 , , (4-78) Chapitre 4 Où Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel est l'aire de la section transversale, est le moment d'inertie par rapport à l'axe où z c’est la coordonnée verticale du centre de gravité de la section G. y, Si l'axe x est placé au point G alors et, par conséquent, ce qui signifie que, pour les matériaux homogènes, l'axe x est l'axe neutre, et les effets axiaux et de flexion sont découplés. Si les propriétés matérielles (la géométrie de la section) sont symétriques par rapport à l'axe de référence x, alors x est aussi l'axe neutre. Nous allons définir une nouvelle coordonnée verticale où : est la distance verticale entre l'axe de la poutre x et l'axe neutre. Si l'axe des x est placé au point O définissant l’axe neutre (fig. 4.4), alors (4-79a) De l’équation (4-79a) et (4-78) nous pouvons obtenir (4-79b) En conclusion, les effets axiaux et le moment de flexion peut être couplés au niveau de section en plaçant simplement l'origine de l'axe des x au point O (fig.4.3) et en changeant z par dans toutes les équations. Cela ne modifie pas les expressions pour dépendent pas de z) et de (comme Le changement de influe sur le déplacement axial , par calcul de la contrainte normale verticale , la rotation et (car ils ne . (Eq.4-69) et le par Eq. (4-72a). Cependant, les résultats pour la déflection et la contrainte de cisaillement transverse sont indépendantes de l’origine de l'axe de la poutre. L’équation (4-72b) montre que la contrainte de cisaillement est constante à travers l’épaisseur de la poutre (comme il est habituel dans la théorie du premier ordre de cisaillement (Timoshenko)). La distribution «correcte» de qui satisfait les équations d’équilibre d'élasticité peut être calculée à posteriori une fois que les déplacements sont obtenus. 61 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel De l'équation d'équilibre le long de la direction x nous avons : → Fig.4.4 4.3.2 (4-80) La position de l'axe neutre sur une section de poutre rectangulaire La formulation élément fini 4.3.2.1 Fonctions d’interpolation Pour un élément de poutre FGM à section constante et non chargé, les deux équations d’équilibre se réduisent à : (4-81) (4-82) où et sont des constantes. De l’équation d’équilibre, on déduit : Où c est une constante d’intégration de l’équation d’équilibre : (4-83) (4-84) (4-85) Le coefficient caractérise les déformations transversales. Il dépend à la fois de la géométrie et des caractéristiques matérielle de la section. Cette équation et les quatre conditions aux limites cinématiques : , , 62 (4-86) Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Nous permettent le calcul des cinq coefficients , et en fonction des déplacements nodaux. (4-87) (4-88) Pour x=0 ⇒ Ce qui nous donne : ⇒ (4-89) (4-90) (4-91) Reste à déterminer les deux inconnus et par les deux conditions aux limites non utilisé jusqu’ici : (4-92) , Pour ces deux conditions aux limites nous obtenons (4-93) La résolution de toutes ces équations nous donne : ⇒ (4-94) (4-95) (4-96) (4-97) (4-98) (4-99) Le champ de déplacement de n’importe quel point M s’écrit sous la forme paramétrique. (4-100) 63 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Avec ces fonctions d’interpolation : (4-101) (4-102) (4-103) (4-104) Le passage de l’élément paramétrique vers l’élément réel se fait par : , (4-105) , (4-106) : est le jacobien de la transformation géométrique connu explicitement. 4.3.2.2 La matrice de rigidité 4.3.2.2.1 Rigidité membranaire Soit une barre de longueur . Les deux fonctions associées aux deux degré de libertés sont : , (4-107) La matrice de raideur est définie par la relation (4-108) 4.3.2.2.2 Rigidité de couplage (4-109) 64 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel La matrice de couplage est définie par la relation ci-dessous : (4-110) (4-111) Avec : (4-112) , 4.3.2.2.3 Rigidité flexionnelle (4-113) Après la simplification on obtient : (4-114) 4.3.2.2.4 Rigidité de cisaillement – Après la simplification on obtient : (4-115) (4-116) et sont les matrices élémentaires calculées par intégration sur la géométrie de l’élément. (4-117) La matrice de rigidité de l’élément portique en FGM à 6 DDL dans le repère local est donnée par l’expression suivante : 65 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel (4-118) 4.3.3 Analyse modale Un élément de Timoshenko est défini par deux nœuds et trois degré de liberté pour chacun. Par l’utilisation du principe des travaux virtuel, le système des équations d’élément fini peut être exprimé comme suit : (4-119) : La matrice de masse globale de la poutre. : La matrice de rigidité globale. : Le vecteur des déplacements nodaux et ω est la fréquence circulaire. 4.3.3.1 La matrice de masse 4.3.3.1.1 Partie membranaire Si la masse volumique du matériau constitutif de la barre, la matrice de masse élémentaire a pour expression selon l’axe de l’élément : (4-120) (4-121) 4.3.3.1.2 Élément de poutre La matrice de masse est égale à : (4-122) 66 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel (4-123) (4-124) Avec 4.3.4 et Instabilité au flambement 4.3.4.1 Construction de la matrice des contraintes initiales La matrice des contraintes initiales s’écrit : (4-125) est le vecteur de déformation du second ordre. P : est l’effort normal Soit : 67 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel (4-126) Avec: 4.4 Tests de validation Dans cette section, nous évaluons les performances des éléments développés, en termes de précision, de convergence et de stabilité, à travers une série de test de validation. Des poutres isotropes, des poutres fonctionnellement gradué, ainsi que différents cas de chargement, de géométrie, des conditions aux limites et d’épaisseur (mince ou épaisse) ont été considérés. Les résultats obtenues sont comparés avec les solutions obtenus analytiquement et ceux obtenus par d’autres modèles d’éléments finis disponibles dans la littérature. 4.4.1 Analyse statique Dans cette section nous traitons deux exemples : 68 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel 4.4.1.1 Poutre FGM simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie Exemple 1 : Considérons la poutre P-FGM simplement appuyée de la (fig. 4.5). La poutre Al/Al2O3 composé d'aluminium (métal) et d'alumine (céramique). Les propriétés de l'aluminium sont GPa, et celles de l'alumine sont GPa, . Les résultats du déplacement transversal (w), les contraintes normales de cisaillement transversal et les contraintes sont normalisés par les équations suivantes respectivement, et ils sont représentés sur le tableau 4.3. , Fig.4.5 Chargement appliqué à la poutre céramique-métal Le tableau 4.3 présente les flèches et les contraintes non dimensionnelles d’une poutre FGM soumise à une charge uniformément répartie q pour différents paramètres du matériau p et différents rapports longueur-épaisseur L / h. Notons que les résultats de Li et al. [93] sont évalués sur la base des solutions analytiques données en annexe B de la Réf. [93]. Nous observons que les valeurs obtenues en utilisant les deux théories des poutres à savoir (CBT et TBT) sont en bon accord avec les valeurs données par Li et al. [93] et Tai, H., Vo, T. [94] pour tous les paramètres du matériau p et les rapports L / h. Pour illustrer l’effet de l’indexe p sur la flexion des poutres FGM sous une charge uniformément répartie, la flèche transversale non dimensionnelle, et la contrainte normale non dimensionnelle sont respectivement représentés sur la (fig. 4.6). Nous remarquons que l'augmentation du paramètre du matériau p permettra de réduire la raideur des poutres FGM, et par conséquent, conduit à une augmentation des flèches et des contraintes normales. Cela est dû, au fait que les valeurs plus élevées de p correspondent à haute portion de métal par rapport à la pièce en céramique, qui rend ces poutres FGM plus flexible. 69 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Tableau 4.3 Les flèches et les contraintes non-dimensionnelles de la poutre FGM sous charge uniformément répartie L/h=5 L/h=20 P Méthode 0 Li et al [93] 31,657 38,02 7,5 28,962 150,13 7,5 TBT (présent) 31,657 37,599 7,031 28,963 150,38 7,031 CBT [94] 28,783 37,500 - 28,783 150,00 - CBT (présent) 28,784 37,599 - 28,784 150,38 - Li et al [93] 62,599 58,837 7,5076 58,049 232,054 7,5076 TBT (présent) 62,545 58,124 5,917 57,997 232,534 5,917 CBT [94] 57,746 57,959 - 57,746 231,834 - CBT (présent) 57,6919 58,124 - 57,694 232,534 - Li et al [93] 80,602 68,812 6,3886 74,415 270,989 6,3886 TBT (présent) 80,189 67,873 5,073 74,286 271,522 5,073 CBT [94] 74,003 67,676 - 74,003 270,704 - CBT (présent) 73,891 67,873 - 73,894 271,522 - Li et al [93] 97,802 81,03 5,1218 88,151 318,112 5,1218 TBT (présent) 96,331 79,668 5,049 87,927 318,693 5,049 CBT [94] 87,508 79,428 - 87,508 317,711 - CBT (présent) 87,362 79,668 - 87,364 318,693 - 1 2 5 100 350 90 300 80 L/h=5 L/h=10 L/h=20 70 60 𝐖 L/h=5 L/h=10 L/h=20 250 200 50 150 40 30 100 20 50 10 0 0 0 Fig.4.6 1 2 p 3 4 5 0 1 2 p 3 4 5 La variation de la flèche et de la contrainte normale non dimensionnelle en fonction de différents paramètres du matériau d’une poutre FGM soumise à une charge uniformément répartie (TBT) 70 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel 0 0,4 0,00E+00 0,00E+00 -1,00E-04 -1,00E-04 -2,00E-04 -2,00E-04 -3,00E-04 -3,00E-04 w(m) w(m) 0 L(m) 0,2 -4,00E-04 p=0 p=1 p=2 p=5 -5,00E-04 -6,00E-04 0,3 0,4 -4,00E-04 0,5 p=0 p=1 p=2 p=5 -5,00E-04 -6,00E-04 -7,00E-04 -7,00E-04 a) TBT Fig.4.7 L(m) 0,1 0,2 b) CBT L’évolution de la flèche totale de la poutre en fonction des divers paramètres du matériau pour (L/h=5) [a) TBT, b) CBT] 0,3 0,4 0 0,5 0,00E+00 0,00E+00 -5,00E-03 -5,00E-03 -1,00E-02 -1,00E-02 -1,50E-02 -1,50E-02 w(m) w(m) 0 L(m) 0,1 0,2 -2,00E-02 -2,50E-02 p=0 p=1 p=2 p=5 -3,00E-02 -3,50E-02 -4,00E-02 0,3 0,4 0,5 -2,00E-02 -2,50E-02 p=0 p=1 p=2 p=5 -3,00E-02 -3,50E-02 -4,00E-02 a) TBT Fig.4.8 0,1 L(m) 0,2 b) CBT L’évolution de la flèche totale de la poutre en fonction des divers paramètres du matériau pour (L/h=20) [a) TBT, b) CBT] 4.4.1.1 Comparaison entre les théories L’évolution de la flèche totale de la poutre FGM pour les deux théories utilisées (CBT, TBT) est représentée sur les (Fig.4.7) et (Fig.4.8) (L/h=5 et L/h=20 respectivement). A partir de ces deux figures on remarque que la flèche du modèle de Timoshenko est plus grande que celle d’Euler- Bernoulli. Ceci est dû à la présence de l’effet de cisaillement transverse. 71 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel La théorie d’Euler-Bernoulli ne traite que la flexion simple sans prendre en compte l’effet de cisaillement transversal. p=0 p=1 p=2 p=5 p=0 p=1 p=2 p=5 0,5 0,4 0,3 0,2 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 z/h 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -3,00E+08 -1,60E+08 -2,00E+07 -0,3 -0,4 -0,5 1,20E+08 -2,70E+07 -1,70E+07 -7,00E+06 xx xz a) Fig.4.9 z/h 0,1 b) La distribution des contraintes normales et des contraintes de cisaillement dans la direction de l’épaisseur pour L/h=5 p=0 p=1 p=2 p=5 p=0 p=1 p=2 p=5 0,5 0,4 0,3 0,2 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -1,10E+08 xx -0,5 -3,00E+07 -7,00E+07 xz a) Fig.4.10 z/h 0,1 z/h 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -4,80E+09 -2,80E+09 -8,00E+08 1,20E+09 b) La distribution des contraintes normales et des contraintes de cisaillement dans la direction de l’épaisseur pour L/h=20 72 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel 100 90 90 80 80 70 70 60 60 𝒘 TBT 50 𝒘 CBT 40 30 50 TBT 40 CBT 30 20 20 10 10 0 0 1 2 p 3 4 0 5 0 a) Fig.4.11 1 2 p 3 4 5 b) La flèche maximale non dimensionnelle d’une poutre FGM simplement appuyée en fonction des différents paramètres du matériau, différents élancements et différentes théories [a)L/h=5, b) L/h=20] 4.4.1.2 L’influence du paramètre du matériau p sur la flèche, la contrainte normale et la contrainte de cisaillement On peut voir clairement que, la flèche totale augmente avec l’augmentation du paramètre du matériau pour les deux cas (mince et épaisse). Ceci est dû à l’influence du module de Young qui est élevé pour la céramique par rapport à celui du métal. Les figures (Fig.4.9.a) et (Fig.4.10.a) présentent la distribution de la contrainte normale de la poutre FGM en fonction des différents élancements et différents paramètres du matériau p, on constate que les contraintes de compression sont sur les surfaces supérieures (face en céramique) et les contraintes de traction sont sur les surfaces inférieures (face en métal). Ces distributions sont linéaires pour les poutres homogènes (poutres entièrement en céramique). Cependant, la distribution de la contrainte normale n’est pas linéaire pour la poutre FGM avec des paramètres du matériau p= 1, 2 et 5, l’amplitude des contraintes de compression et de traction sont inégales en grandeur pour la poutre P-FGM avec le paramètre du matériau p utilisé. De plus les contraintes de compression sont plus grandes en valeur absolue par rapport à la contrainte de traction. L’évolution des contraintes de cisaillement à travers l’épaisseur de la poutre P-FGM pour divers paramètres du matériau est illustrée sur les figures (Fig.4.9.b) et (Fig.4.10.b). 73 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel On voit que l’influence du paramètre du matériau est illimitée et son augmentation mène à une diminution de la contrainte de cisaillement. D’après la (Fig.4.11) la flèche totale non dimensionnelle augmente avec l’augmentation du paramètre du matériau pour les deux rapports longueur-épaisseur (L/h=5, L/h=20), et lorsqu’on augmente l’élancement les deux courbes seront identique (la solution de Timoshenko tend vers la solution de Bernoulli). Exemple 2 : Cet exemple nous s’intéressons à l’étude d’une poutre P-FGM simplement appuyée (Fig.4.12) composé d'aluminium ( GPa, c = 70 GPa, = 0.3) et de Zirconium ( c = 200 = 0.3). La fonction de loi de puissance est employée pour décrire les variations des propriétés matérielles de la poutre FGM. Dans le présent exemple, on inverse le positionnement des deux matériaux tel que la surface supérieure de la poutre est supposée être en aluminium (métal) et la surface inférieure en Zirconium (céramique). La largeur et l’épaisseur de la poutre sont considérées comme constants b=0.1m et h=0.1m. La longueur L=0.4m et L=1.6m pour deux valeurs de L/h, L/h=4 et L/h=16. Le facteur de correction de cisaillement est considéré pour TBT. Le déplacement axial (u), et le déplacement transversal (w), sont normalisés par rapport la d’une poutre entièrement métallique soumise à une charge déflexion statique, uniformément répartie. Fig.4.12 Les contraintes normales Chargement appliqué à la poutre métal-céramique et les contraintes de cisaillement transversal par les équations suivantes respectivement 74 sont normalisés Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel . Dans le tableau 4.4, les flèches maximales non dimensionnelles de la poutre FGM sont représentées pour différents paramètres du matériau et pour différents rapports longueurépaisseur L/h=4,16. On peut voir clairement que, ces déplacements diminuent avec l’augmentation du paramètre du matériau p, cela est dû au fait que l'augmentation du paramètre du matériau p permettra d’augmenter la raideur des poutres FGM, et, par conséquent, conduit à une diminution des flèches. Et aussi que les valeurs plus élevées de p correspondent au cas à haute portion de céramique par rapport à la pièce en métal. On peut observer que les valeurs obtenues en utilisant les deux théories des poutres (CBT et TBT) sont en bon accord avec les valeurs donnée par Simsek [95] pour toutes les paramètres du matériau p et les rapports L / h. L’effet de déformation de cisaillement joue un rôle important sur les réponses des poutres courtes. Ainsi, les déplacements du modèle de Timoshenko sont plus grands que celle d’Euler Bernoulli, ceci est dû à la présence de l’effet de cisaillement transverse. Tableau 4.4 Les flèches maximales non dimensionnelles de la poutre FGM pour différents paramètres du matériau Le paramètre du matériau p p=0 (métal) p=1 p=2 p=5 p=∞ (céramique) Les différentes théories La flèche maximale non dimensionnelle L/h=4 L/h=16 Simsek [95] 1,13002 1,00812 TBT (présent) 1,15600 1,00976 CBT (présent) 1,00000 1,00001 Simsek [95] 0,62936 0,56615 TBT (présent) 0,64269 0,56585 CBT (présent) 0,56179 0,56180 Simsek [95] 0,56165 0,50718 TBT (présent) 0,57316 0,50781 CBT (présent) 0,50346 0,50346 Simsek [95] 0,49176 0,44391 TBT (présent) 0,50192 0,44451 CBT (présent) 0,44070 0,44069 Simsek [95] 0,39550 0,35284 TBT (présent) 0,40460 0,35341 CBT (présent) 0,35000 0,35000 75 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel 1,20 p=0 p=1 p=2 p=5 céramic 1,00 0,80 w0/wstat 0,80 w0/wsta 0,60 0,40 p=0 p=1 p=2 p=5 ceramic 1,00 0,60 0,40 0,20 0,20 0,00 0 0,1 Fig.4.13 0,2 x(m) 0,3 0,00 0,4 0 0,4 0,8 x(m) 1,2 1,6 La distribution des flèches non dimensionnelles le long de la poutre pour (L/h=4 et L/h=16) [TBT] 0,080 p=0 p=1 p=2 p=5 ceramic 0,070 0,060 0,050 0,015 0,012 u0/wsta u0/wsta 0,040 p=0 p=1 p=2 p=5 ceramic 0,018 0,030 0,020 0,009 0,006 0,003 0,010 0,000 0,000 -0,010 -0,003 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0 x(m) Fig.4.14 0,4 0,8 x(m) 1,2 1,6 La distribution des déplacements axiaux non dimensionnels le long de la poutre pour (L/h=4 et L/h=16) [TBT] Les figures (Fig.4.13, Fig.4.14) présentent la distribution des flèches et des déplacements axiaux non dimensionnels, respectivement, le long de la poutre FGM. Lorsque l'exposant de la loi de puissance augmente, les fléches non dimensionnels de la poutre FGM diminuent. D’après la Fig. (4.14) nous remarquons que les déplacements axiaux diminuent avec l'augmentation du paramètre du matériau. Les déplacements axiaux non dimensionnels des poutres entièrement métallique ou entièrement céramique sont nulles et coïncident les uns avec les autres parce que pour les poutres isotropes (soit en métal ou en céramique), il n'y a 76 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel pas de couplage entre la flexion et la membrane. Il est également à noter que les valeurs plus élevées de p correspondent à haute portion de céramique. 0,5 0 0,25 z/h 0,25 z/h 0,5 p=0 p=1 p=2 p=3 p=4 p=5 céramique -0,25 -0,25 -0,5 -5,00 Fig.4.15 0 p=0 p=1 p=2 p=3 p=4 p=5 céramique -3,00 -1,00 1,00 les contraintes normales non dimensionnelles -0,5 -20,00-15,00-10,00 -5,00 0,00 5,00 10,00 15,00 les contraintes normales non dimensionnelles 3,00 La distribution des contraintes normales non dimensionnelles pour différents paramètres du matériau pour (L/h=4 et L/h=16) à La figure 4.15 présente la distribution de la contrainte normale de la poutre FGM en fonction des différents élancements et différents paramètres du matériau p, on constate que les contraintes de compression sont sur les surfaces supérieures (face en métal) et les contraintes de traction sont sur les surfaces inférieures (face en céramique). Ces distributions sont linéaires pour les poutres homogènes (poutres entièrement en céramique ou métallique). Cependant, la distribution de la contrainte normale n’est pas linéaire pour la poutre FGM avec des paramètres du matériau, l’amplitude des contraintes de compression et de traction sont inégales en grandeur pour la poutre P-FGM avec le paramètre du matériau p utilisé. De plus les contraintes de traction sont plus grandes en valeur absolue par rapport à la contrainte de compression. L’évolution des contraintes de cisaillement non dimensionnelles à travers l’épaisseur de la poutre P-FGM pour divers paramètres du matériau et pour différents rapports longueurépaisseur est illustrée sur la figure (Fig.4.16). On voit que l’augmentation du paramètre du matériau mène à une augmentation de la contrainte de cisaillement. 77 Chapitre 4 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0 0,2 0,4 0,6 0,8 les contraintes de cisaillement non dimensionnelles Fig.4.16 p=0 p=1 p=2 p=3 p=4 p=5 céramique z/h z/h p=0 p=1 p=2 p=3 p=4 p=5 céramique 0 1 0,2 0,4 0,6 0,8 les contraintes de cisaillement non dimensionnelles 1 La distribution des contraintes de cisaillement non dimensionnelles pour différents paramètres du matériau pour (L/h=4 et L/h=16) à 4.4.2 Analyse modale Exemple 1 : Dans la deuxième section, nous étudions la vibration libre d’une poutre P-FGM simplement appuyée composé d'aluminium (métal) et d'alumine (céramique). Les propriétés de l'aluminium sont ( = 70 GPa, ρm=2702 kg/m3, 380GPa, ρc=3960 kg/m3, c = 0.3) et celles de l'alumine sont ( c = = 0.3). La fréquence non-dimensionnelle de comparaison est (4-127) Le tableau 4.5 montre les fréquences fondamentales non dimensionnelles d’une poutre FGM pour différentes paramètres du matériau p et différents rapports L / h. Les fréquences calculées sont comparés avec ceux donnés par Simsek [96] en utilisant les deux théories des poutres à savoir (CBT et TBT). Un excellent accord entre les présentes solutions et les résultats de Simsek [96] a été trouvé. Les trois premières fréquences non dimensionnelles d’une poutre FGM prédits par divers modèles proposée sont présentés sur le tableau 4.6 pour différents paramètres du matériau p et différents rapport longueur-épaisseur L / h. 78 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Tableau 4.5 L/h Les fréquences fondamentales non dimensionnelles de la poutre FGM Les La méthode différentes p 0 1 2 5 Sismek [96] 5,1527 3,9904 3,6264 3,4012 Présent 5,1531 3,9678 3,6011 3,4005 Sismek [96] 5,3953 4,1484 3,7793 3,5949 Présent 5,4832 4,1861 3,7985 3,6136 Sismek [96] 5,4603 4,205 3,8361 3,6485 présent 5,4602 4,2049 3,8366 3,6509 Sismek [96] 5,4777 4,2163 3,8472 3,6628 présent 5,4831 4,2205 3,8511 3,6667 Théories 5 TBT CBT 20 TBT CBT 5,5 L/h=5 5 L/h=20 L/h=10 4,5 𝛚 4 3,5 3 0 Fig.4.17 1 2 3 4 Le paramètre du matériau p La variation des fréquences non dimensionnelles 5 6 en fonction des différents élancements et différents paramètres du matériau (TBT) D’après la (Fig. 4.17) on observe que la diminution de l'indice de loi de puissance entraîne une augmentation de la fréquence non dimensionnelle. Les valeurs de fréquence les plus élevées sont obtenues pour des poutres entièrement céramique ( = 0), tandis que les valeurs de fréquence les plus faibles sont obtenues pour des poutres entièrement métalliques ( → ∞) 79 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel ceci est dû au fait que l'augmentation du paramètre du matériau se conduit à une diminution de la valeur du module d'élasticité. La poutre devient flexible avec l'augmentation du paramètre du matériau. Tableau 4.6 Les trois premières fréquences non dimensionnelles d’une poutre FGM p L/h Mode 5 1 2 3 20 1 2 3 La méthode 0 1 2 5 Tai et al. [94] 5,1527 3,9904 3,6264 3,4012 TBT (présent) 5,1531 3,9678 3,6011 3,4005 Tai et al. [94] 5,3953 4,1484 3,7793 3,5949 CBT (présent) 5,4832 4,1861 3,7985 3,6136 Tai et al. [94] 17,8812 14,01 12,6405 11,5431 TBT (présent) 17,9096 14,4222 13,2453 12,15 Tai et al. [94] 20,6187 15,7982 14,326 13,5876 CBT (présent) 21,9418 17,0586 15,6342 14,7276 Tai et al. [94] 34,2097 27,0979 24,3152 21,7158 TBT (présent) 34,6779 27,442 24,8335 22,7587 Tai et al. [94] 43,3483 33,0278 29,7458 28,085 CBT (présent) 47,4413 35,6391 31,6911 29,1177 Tai et al. [94] 5,4603 4,2051 3,8361 3,6485 TBT (présent) 5,4602 4,2049 3,8366 3,6509 Tai et al. [94] 5,4777 4,2163 3,8472 3,6628 CBT (présent) 5,4831 4,2205 3,8511 3,6667 Tai et al. [94] 21,5732 16,6344 15,1619 14,3746 TBT (présent) 21,5762 16,6268 15,1578 14,3968 Tai et al. [94] 21,8438 16,81 15,3334 14,5959 CBT (présent) 21,9331 16,8679 15,3803 14,64 Tai et al. [94] 47,593 36,7679 33,4689 31,578 TBT (présent) 47,6843 36,6775 33,3357 31,5037 Tai et al. [94] 48,8999 37,6173 34,2954 32,6357 CBT (présent) 49,3797 37,8017 34,3497 32,5667 80 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Ces résultats sont comparés avec ceux donnés par (Tai et al. [94]). La différence entre les fréquences de la CBT et TBT est importante pour les modes les plus élevés et pour les petits rapports longueur-épaisseur L / h, cela est du à la présence de l’effet de déformation de cisaillement et l’inertie de rotation. Ces effets conduisent à une diminution des fréquences et la réduction est amplifiée à des modes de vibration plus élevés et de faibles rapports d’élancement L/h. Cela implique que le modèle de (TBT) doit être utilisé pour une meilleure prédiction des fréquences au lieu de CBT qui néglige l’effet de cisaillement transversal et de l'inertie de rotation. Exemple 2 : cette partie présente les caractéristiques dynamiques d’une poutre FGM, La fonction de loi de puissance est employée pour décrire les variations des propriétés matérielles de la poutre FGM. Le calcul numérique se base sur une poutre FGM simplement appuyée. La poutre est composée d'aluminium (métal) et d'alumine (céramique) est considérée. Les paramètres de la poutre sont : b (la largeur)=0.4m, L (la longueur)=20m. La poutre composé de métal ( ρc=3960 kg/m3, c = 210 GPa, ρm=7800 kg/m3, = 0.3) et de céramique ( c = 390 GPa, = 0.3). La surface supérieure de la poutre est supposée être en céramique et la surface inférieure en métal. Les paramètres non-dimensionnels utilisés ici sont : , , . Où est le moment d’inertie de la section de la poutre. Les fréquences adimensionnelles de la poutre FGM sont calculées et obtenues pour différents paramètres du matériau, différents ratios de module de Young, et différents rapports longueurépaisseur. La poutre est simplement appuyée durant l’analyse. Les effets des ratios de module de Young, des rapports longueur-épaisseur, et du paramètre du matériau sur les trois fréquences adimensionnelles sont présentés sur les tableaux 4.7, 4.8 et 4.9. On peut observer que les fréquences naturelles augmentent avec l’augmentation de p (quand Eratio<1), et de diminuent avec une augmentation de ce paramètre (quand Eratio > 1). 81 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Tableau 4.7 La première fréquence adimensionnelle matériau , pour différents paramètres du L/h Théorie Eratio p=0 p=1 p=2 p=5 20 Présent 0,25 2,2665 2,7600 2,8639 2,9911 2,2203 2,7035 2,8053 2,9302 2,2665 2,4846 2,5289 2,5846 2,6403 2,8944 2,9459 3,011 3,1345 3,1345 3,1345 3,1345 3,1399 3,1399 3,1399 3,14 3,9311 3,6253 3,5567 3,4957 3,734 3,4421 3,3765 3,3196 4,3349 3,7326 3,5620 3,4479 4,4406 3,8234 3,6485 3,5326 2,2591 2,7555 2,8580 2,9827 2,2213 2,7053 2,8071 2,9317 2,2591 2,4778 2,5217 2,5767 2,6416 2,896 2,9475 3,0125 3,1437 3,1437 3,1437 3,1437 3,1415 3,1415 3,1415 3,1415 3,9301 3,6247 3,5560 3,4951 3,7359 3,444 3,3784 3,3213 4,3476 3,7443 3,5586 3,4432 4,4427 3,8259 3,6513 3,5343 Simsek [97] Présent 0,5 Simsek [97] Présent 1 Simsek [97] Présent 2 Simsek [97] Présent 4 Simsek [97] 100 Présent 0,25 Simsek [97] Présent 0,5 Simsek [97] Présent 1 Simsek [97] Présent 2 Simsek [97] Présent 4 Simsek [97] Tableau 4.8 La deuxième fréquence adimensionnelle matériau , pour différents paramètres du L/h Théorie Eratio p=0 p=1 p=2 p=5 20 Présent 0,25 4,5330 5,5177 5,7262 5,9816 4,4338 5,3997 5,6028 5,8514 4,5330 4,9687 5,0572 5,1690 5,2727 5,7804 5,8832 6,0128 6,2690 6,2690 6,2690 6,2690 6,2703 6,2703 6,2703 6,2703 7,8751 7,2720 7,1362 7,0099 7,4567 6,874 6,7431 6,6291 8,6698 7,4621 7,1191 6,8911 8,8676 7,6363 7,2877 7,0541 4,5266 5,5433 5,7436 5,9834 4,4425 5,4314 5,6139 5,8629 4,5266 4,9708 5,0579 5,1651 5,2831 5,7918 5,8948 6,0246 6,2874 6,2874 6,2874 6,2874 6,2827 6,2827 6,2827 6,2827 Simsek [97] Présent 0,5 Simsek [97] Présent 1 Simsek [97] Présent 2 Simsek [97] Présent 4 Simsek [97] 100 Présent 0,25 Simsek [97] Présent 0,5 Simsek [97] Présent Simsek [97] 1 82 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Présent 2 Simsek [97] Présent 4 Simsek [97] Tableau 4.9 7,8746 7,2716 7,1356 7,0097 7,4714 6,8876 6,7564 6,6421 8,6952 7,4907 7,1714 6,9308 8,885 7,6515 7,3023 7,0683 La troisième fréquence adimensionnelle matériau , pour différents paramètres du L/h Théorie Eratio p=0 p=1 p=2 p=5 20 Présent 0,25 6,8013 8,2625 8,5805 8,9702 6,6338 8,0783 8,3823 8,7546 6,8013 7,4496 7,5837 7,7537 7,889 8,6483 8,8022 8,9962 9,4060 9,4060 9,4060 9,4060 9,3817 9,3817 9,3817 9,3817 11,8964 11,0045 10,8027 10,6037 11,157 10,285 10,089 9,9182 13,0082 11,1754 10,6478 10,2983 13,268 11,424 10,902 10,553 6,8382 8,4218 8,7132 9,0536 6,6631 8,1462 8,4199 8,7935 6,8382 7,5223 7,6520 7,8077 7,9238 8,6868 8,8413 9,036 9,4314 9,4314 9,4314 9,4314 9,423 9,423 9,423 9,423 11,8959 11,0041 10,8021 10,6033 11,206 10,33 10,134 9,9622 13,0433 11,3897 10,9217 10,5384 13,326 11,476 10,952 10,601 Simsek [97] Présent 0,5 Simsek [97] Présent 1 Simsek [97] Présent 2 Simsek [97] Présent 4 Simsek [97] 100 Présent 0,25 Simsek [97] Présent 0,5 Simsek [97] Présent 1 Simsek [97] Présent 2 Simsek [97] Présent Simsek [97] 4 Pour un paramètre du matériau constant, une augmentation de Eratio provoque l'augmentation des fréquences fondamentales, aucune variation significative sur les fréquences par rapport à la variation dans le rapport d'élancement. Ces résultats illustrent que les fréquences dépendent de la variation de Eratio beaucoup plus que la variation de l’exposant de puissance. La comparaison des résultats obtenus par la présente méthode et ceux obtenus par Simsek [97] ont montré l’efficacité du présent élément. 4.4.3 Analyse de stabilité initiale (flambement) La poutre en FGM parfaitement rectiligne est chargée en compression suivant son axe par une charge P. elle a une variation graduelle et continue des fractions volumiques de 83 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel chacun des constituants (métal et céramique) à travers son épaisseur. Différentes conditions aux limites sont considérées. La surface supérieure de la poutre est supposée être en céramique et la surface inférieure en métal (Fig.4.18). Les propriétés matérielles du métal et de la céramique sont données sur le tableau 4.10. Fig.4.18 Les coordonnées et la géométrie de la poutre à gradient fonctionnel Tableau 4.10 Propriétés matérielles de la céramique et du métal propriété Céramique Métal E (GPa) La charge critique non-dimensionnelle est : (4-128) λ :la charge critique La charge critique non-dimensionnelle correspondant aux différents rapports d'élancement (5, 10, respectivement), des poutres FGM avec différentes conditions aux limites (E-E, E-SA, SA-SA et E-L) et différents paramètres du matériau a été donné sur les tableaux 4.11 et 4.12. D’après les tableaux, Nous observons que l’augmentation du paramètre du matériau entraîne une diminution de la charge non-dimensionnelle de flambement. On peut voir aussi que cette valeur est plus importante pour les poutres entièrement céramiques que pour les poutres FGM. Les résultats obtenus par la présente méthode sont identiques à ceux donnés par Li et Batra [98]. 84 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Tableau 4.11 La charge critique non-dimensionnelle de la poutre FGM avec L/h=5 Conditions aux limites E-E p : paramètre du matériau 0 1 2 5 214,3115 106,8942 83,4480 70,5829 214,31 106,82 83,355 70,491 109,6068 54,6646 42,6725 36,0943 Li et al. [98] 109,61 54,633 43,631 36,052 CBT (présent) 53,5779 26,7194 20,8571 17,6420 Li et al. [98] 53,578 26,705 20,838 17,623 CBT (présent) 13,3944 6,6795 5,2139 4,4102 Li et al. [98] 13,394 6,6763 5,2097 4,4057 CBT (présent) Li et al. [98] E-SA SA-SA E-L CBT (présent) Tableau 4.12 La charge critique non-dimensionnelle de la poutre FGM avec L/h=10 Conditions aux limites E-E p : paramètre du matériau 0 1 2 5 214,3115 106,8942 83,4480 70,5829 214,31 106,82 83,355 70,491 109,6068 54,6646 42,6725 36,0943 Li et al. [98] 109,61 54,622 43,631 36,052 CBT (présent) 53,5779 26,7194 20,8571 17,6420 Li et al. [98] 53,578 26,705 20,838 17,623 CBT (présent) 13,3944 6,6795 5,2139 4,4102 Li et al. [98] 13,395 6,6763 5,2097 4,4057 CBT (présent) Li et al. [98] E-SA SA-SA E-L CBT (présent) E-E : encastré-encastré SA-SA : simplement appuyé- simplement appuyé E-SA : encastré-simplement appuyé E-L : encastré-libre 85 Chapitre 4 4.5 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Etude paramétrique Cette étude paramétrique vise à démontrer l’influence des différents paramètres de la poutre FGM sur les différentes analyses statique, dynamique et flambement. On considère les paramètres suivants : l’effet du coefficient de Poisson, l’effet des conditions aux limites, l’effet du paramètre du matériau, l’effet de l’élancement…etc. L’effet du coefficient de Poisson sur l’analyse statique 4.5.1 Dans cette section, deux exemples sont pris en compte pour différents élancement (L/h). 4.5.1.1 Exemple 1 : poutre mince (L/h=100) Les résultats sont discutés pour une poutre console FGM discrétisée en 50 éléments (L = 1.2 m, h = 0.012m, b = 0.1 m), la poutre est sollicitée à l’autre extrémité libre de la console par une charge (P = 1000 N). La poutre est composé d'alumine ( l'acier ( m )( c = 151 GPa) et de = 75.5 GPa). Tout d'abord, le coefficient de Poisson change sans interruption dans toute la direction d’épaisseur selon la fraction de volume des constituants définis par la fonction de la loi de puissance ( c = 0.3, m = 0.25), puis il est supposé être constant ( =0.3), le facteur de correction de cisaillement est pris comme c = m pour la théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (TBT). Les caractéristiques géométriques et les propriétés de la console FGM sont présentées sur (Fig.4.19). Les quantités non-dimensionnelles utilisées ici sont: , , Fig.4.19 (Lorsque le coefficient de Poisson est supposé être varié) (Lorsque le coefficient de Poisson est constant) Les caractéristiques géométriques et les propriétés de la poutre FGM (L/h = 100) 86 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel -0,03 -0,07 -0,11 -0,15 -0,19 -0,23 -0,27 w(m) -0,31 -0,35 -0,39 -0,43 -0,47 -0,51 -0,55 ceramic p=1 p=2 p=3 p=4 p=5 metal 1,2 1,08 0,96 0,84 0,72 0,6 0,48 0,36 0,24 0,12 0 longueur de la poutre L(m) Fig.4.20 La flèche transversale à l’extrémité de la console FGM (L/h=100) 0,5 0,4 0,3 ceramic 0,2 0,1 p=1 0 p=2 -0,1 p=3 -0,2 p=4 -0,3 p=5 z/h -0,4 -0,5 -1,00E+10 Fig.4.21 metal 0,00E+00 1,00E+10 la contrainte normale (Pa) 2,00E+10 La variation de la contrainte normale à travers l’épaisseur de la poutre P-FGM en fonction des divers paramètres du matériau au x=0.6m (L/h=100) 87 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel 0,5 0,4 0,3 ceramic 0,2 p=1 0,1 0 p=2 z/h -0,1 p=3 -0,2 p=4 -0,3 p=5 -0,4 -1,50E+06 -1,00E+06 -5,00E+05 metal -0,5 0,00E+00 la contrainte de cisaillement (pa) Fig.4.22 La variation de la contrainte de cisaillement à travers l’épaisseur de la poutre P-FGM en fonction des divers paramètres du matériau au x=0.6m (L/h=100) 300 S(J) ceramic 250 p=1 200 p=2 p=3 150 p=4 100 p=5 50 metal 0 paramètre du matériau p Fig.4.23 L’énergie de déformation en fonction des différents paramètres du matériau (L/h=100) 4.5.1.2 Exemple 2 : poutre à épaisseur modéré (L/h=15) Il s’agit d’une poutre console FGM, soumis à une charge ponctuelle à l'extrémité libre (P = 1000 N). Discrétisé en 50 éléments .Les caractéristiques géométriques et les propriétés de la poutre sont (L = 1.2 m, h = 0.08 m, b = 0.1 m). La poutre est composé d'alumine ( GPa) et de l'acier ( m c = 151 = 75.5 GPa). Comme dans l'exemple précédent, le coefficient de 88 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Poisson est supposé varié à travers l'épaisseur de la poutre en fonction de la loi de puissance ( c = 0.3, m = 0.25) puis il est supposé comme constant ( c = m = 0.3). Les caractéristiques géométriques et les propriétés de la console FGM sont présentées sur la (Fig.4.24). Fig.4.24 Les caractéristiques géométriques et les propriétés de la poutre FGM (L/h = 15) 0 -0,0002 -0,0004 ceramic -0,0006 p=1 -0,0008 p=2 w(m) -0,001 -0,0012 p=3 -0,0014 p=4 -0,0016 p=5 -0,0018 metal -0,002 1,2 1,08 0,96 0,84 0,72 0,6 0,48 0,36 0,24 0,12 0 longueur de la poutre L(m) Fig.4.25 La flèche transversale à l’extrémité de la console FGM (L/h=15) 89 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel 0,5 0,4 z/h 0,3 ceramic 0,2 p=1 0,1 p=2 0 p=3 -0,1 p=4 -0,2 p=5 -0,3 metal -0,4 -0,5 -5,00E+08 Fig.4.26 0,00E+00 5,00E+08 la contrainte normale (Pa) 1,00E+09 La variation de la contrainte normale à travers l’épaisseur de la poutre P-FGM en fonction des divers paramètres du matériau au x=0.6m (L/h=15) 0,5 0,4 0,3 p=0 0,2 p=1 0,1 0 z/h p=4 -0,2 p=5 -0,4 Fig.4.27 -4,00E+03 -2,00E+03 la contrainte de cisaillement (pa) p=3 -0,1 -0,3 -6,00E+03 p=2 metal -0,5 0,00E+00 La variation de la contrainte de cisaillement à travers l’épaisseur de la poutre P-FGM en fonction des divers paramètres du matériau au x=0.6m (L/h=15) 90 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel ceramic 1 p=1 0,8 S(J) p=2 p=3 0,6 p=4 0,4 p=5 0,2 metal 0 paramètre du matériau p Fig.4.28 L’énergie de déformation en fonction des différents paramètres du matériau (L/h=100) Si le coefficient de Poisson est supposé varier dans toute la direction de l’épaisseur selon la fraction de volume des constituants (définis par la fonction de loi de puissance), ou il est supposé être constant, on obtient les mêmes résultats. La flèche transversale à l’extrémité de la console FGM est représentée sur les figures (4.20) et (4.25) pour les deux exemples (L/h=100 et L/h=15), respectivement pour divers paramètres du matériau p. Nous remarquons que la flèche totale est plus importante pour les poutres entièrement métalliques que pour les poutres entièrement céramiques. Ceci est dû à l’influence du module de Young qui est élevé pour la céramique (151GPa) par rapport à celui du métal (75.5 GPa) par un rapport double. Par conséquent la flèche totale augmente pendant que le paramètre du matériau p augmente. Les figures (4.21) et (4.26) présentent la distribution de la contrainte normale et la contrainte de cisaillement de la poutre FGM en fonction des différents paramètres du matériau p, les contraintes de compression sont sur les surfaces supérieures (face en céramique) et les contraintes de traction sont sur les surfaces inférieures (face en métal). Ces distributions sont linéaires pour les poutres homogènes (poutres entièrement en céramique ou entièrement en métal). Cependant, la distribution de la contrainte normale n’est pas linéaire pour la poutre FGM avec des paramètres du matériau p=1, 2,3, etc. L’amplitude des contraintes de compression et de traction sont inégales en grandeur pour la poutre FGM 91 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel avec le paramètre du matériau p utilisé. De plus la contrainte de compression est plus grande en valeur absolue par rapport à la contrainte de traction. L’évolution des contraintes de cisaillement à travers l’épaisseur de la poutre FGM pour divers paramètres du matériau est illustrée sur les figures (4.22) et (4.27). On remarque que l’influence du paramètre du matériau est illimitée et son augmentation mène à une diminution des contraintes de cisaillement. Les figures (4.23) et (4.28) montrent la variation de l'énergie de déformation en fonction de différentes valeurs de p; on voit que l'énergie de déformation augmente pendant que le paramètre du matériau p augmente. Nous observons qu'il n'y a pas de relation entre le coefficient de Poisson, la flèche, les contraintes normales et de cisaillement et aussi l’énergie de déformation. L’analyse statique des poutres FGM montre que les flèches, les contraintes normales et les contraintes cisaillement dépendent beaucoup plus de la position de l’axe neutre dépendant lui même de l'indice de la loi de puissance, et ils ne dépendent pas du coefficient de Poisson. 4.5.2 L’effet de cisaillement transversal, des conditions aux limites, du paramètre du matériau, et du rapport d’élancement sur l’analyse dynamique Un analyste adopte une analyse d’une poutre mince négligeant les effets du cisaillement transversal sur les fréquences. Ici nous avons tenté de faire ressortir clairement l'importance de considération de l’effet de cisaillement transversal dans l'analyse dynamique des structures de type poutre. Le calcul numérique se base sue une poutre FGM (Fig.4.29) avec différentes conditions aux limites, en utilisant les deux formulations d’Euler Bernoulli (CBT) et de Timoshenko (TBT). Fig.4.29 Les coordonnées et la géométrie de la poutre à gradient de propriété 92 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Les propriétés matérielles du métal et de la céramique sont données sur le tableau (4.13) Tableau 4.13 Propriétés matérielles de la céramique et du métal Propriété Céramique Métal E(GPa) 151 70 0,3 0,3 5000 2780 ρ (kg/m3) Une étude convergente est réalisée avec différents nombres d'éléments (NE). Les résultats avec 5 éléments se révèlent donner des fréquences convergentes à la précision souhaitée comme a été indiqué sur le tableau 4.14. Tableau 4.14 Une étude convergente (SA-SA, p=0, L/h=100, la théorie de Timoshenko) NE La fréquence fondamentale (rad/s) 5 1,5656 10 1,5656 20 1,5654 40 1,5656 50 1,5656 80 1,5656 Les quantités non-dimensionnelles utilisées ici sont , , , Avec (4-129) Pour la validation, la fréquence fondamentale non dimensionnelle d’une poutre entièrement céramique obtenue à partir de la théorie de Timoshenko est comparée à obtenue par Sanjay [99]. Les résultats sont donnés sur le tableau (4.15), nous observons que les valeurs sont en bon accord avec ceux qui données par Sanjay [99] pour tous les rapports L/h considérés. 93 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Tableau 4.15 La comparaison de L/h SA-SA (p=0) (la théorie de Timoshenko) E-E (p=0) SA-E (p=0) Sanjay [99] présent Sanjay [99] présent Sanjay [99] présent 5 3,9338 3,9335 7,6363 7,6402 5,7008 5,7014 10 4,1178 4 ,1163 8,9017 8,8964 6,2952 6,2918 20 4,1690 4,1671 9,3368 9,3272 6,4778 6,4729 50 4,1838 4,1818 9,4713 9,4602 6,5321 6,5268 100 4,1858 4,1837 9,4910 9,4797 6,5399 6,5346 Après la validation des résultats d’une poutre homogène, nous considérons les vibrations libres d’une poutre FGM. Tableau 4.16 L’effet des paramètres géométriques et la distribution matérielle sur L/h Les théories p=0 p=1 p=5 5 CBT 4,1846 3,4900 3,2197 TBT 3,9335 3,2887 3,0148 % diff 6,3836 6,1209 6,7964 CBT 4,1846 3,4968 3,2254 TBT 4,1163 3,4417 3,1689 % diff 1,6592 1,6090 1,7829 CBT 4,1846 3,4983 3,2267 TBT 4,1671 3,4842 3,2122 % diff 0,4199 0,4046 0,4514 CBT 4,1846 3,4987 3,2270 TBT 4,1818 3,4964 3,2247 % diff 0,0669 0,06578 0,07132 CBT 4,1846 3,4988 3,2271 TBT 4,1837 3,4982 3,2265 % diff 0,0215 0,0171 0,0185 10 20 50 100 94 (SA-SA) Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Tableau 4.17 L’effet des paramètres géométriques et la distribution matérielle sur L/h Les théories p=0 p=1 p=5 5 CBT 9,4862 7,9303 7,3141 TBT 7,6402 6,4361 5,8159 % diff 24,1616 23,2159 25,7604 CBT 9,4862 7,9357 7,3186 TBT 8,8964 7,4606 6,8321 % diff 6,6296 6,3681 7,1207 CBT 9,4862 7,9370 7,3196 TBT 9,3272 7,8091 7,1877 % diff 1,7046 1,6378 1,8350 CBT 9,4862 7,9373 7,3199 TBT 9,4602 7,9164 7,2983 % diff 0,2748 0,2640 0,2959 CBT 9,4862 7,9374 7,3200 TBT 9,4797 7,9321 7,3146 % diff 0,0685 0,0668 0,0738 10 20 50 100 Tableau 4.18 L’effet des paramètres géométriques et la distribution matérielle sur L/h Les théories p=0 p=1 p=5 5 CBT 6,5372 5,4797 5,0511 TBT 5,7014 4,8023 4,3664 % diff 14,6595 14,1057 15,6811 CBT 6,5372 5,4838 5,0545 TBT 6,2918 5,2853 4,8509 % diff 3,9003 3,7556 4,1971 CBT 6,5372 5,4848 5,0553 TBT 6,4729 5,4328 5,0017 % diff 0,9933 0,9571 1,0716 CBT 6,5372 5,4850 5,0555 TBT 6,5268 5,4766 5,0468 10 20 50 95 (E-E) (SA-C) Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel 100 % diff 0,1593 0,1533 0,1723 CBT 6,5372 5,4851 5,0555 TBT 6,5346 5,4830 5,0534 % diff 0,0397 0,0383 0,0415 SA-SA : simplement appuyé- simplement appuyé E-E : encastré-encastré SA -E : encastré-simplement appuyé La différence en pourcentage de la fréquence fondamentale obtenue en utilisant les deux théories pour différents rapports L / h, différents paramètres du matériau, et différentes conditions aux limites est présentée dans les tableaux 4.16, 4.17 4.18. Nous remarquons que, pour toutes les conditions aux limites, les effets de cisaillement transverse sont moins prédominants après L / h ≥ 50. Comme L / h tend vers 100, la différence entre les fréquences obtenues par la théorie d'Euler et de Timoshenko devient négligeable. Pour L / h identique, la différence maximale est observée pour la poutre E-E par rapport à la poutre SA-SA et à la poutre SA-E. Pour la poutre SA-E, la différence se situe entre celle de la poutre encastrée et celle de la poutre simplement supporté. Pour une L / h donnée, on observe que la différence est presque semblable pour différents paramètre de fraction volumique. La figure 4.30 présente la variation de la fréquence fondamentale non dimensionnelle en fonction du rapport longueur / épaisseur (L / h) pour la poutre FGM (SA-SA) avec différents paramètres du matériau pour les deux théories des poutres d’Euler-Bernoulli et de Timochenko. Comme il est prévu, pour le même exposant de fraction volumique, les fréquences ne correspondent pas aux petits rapports L / h montrant clairement l'effet du cisaillement transversal par l’augmentation de la flexibilité, réduisant ainsi la fréquence comparée à celle obtenue par la théorie d'Euler, nous notons aussi que ces remarques sont similaire pour tous les paramètres du matériau considérés. L'étude est répétée avec les autres conditions aux limites (E-E et SA-E), comme elles montrent les figures 4.31 et 4.32. Pour toutes les conditions aux limites considérées, il existe une grande différence entre la fréquence non dimensionnelle obtenue à partir de ces deux théories pour L /h 10. Pour les poutres simplement appuyée, la courbe obtenue par la théorie de Timoshenko coïncide avec la courbe obtenue par la théorie d'Euler après L / h ≥ 25. Pour les poutres encastrée-encastrée, ces deux courbes ne coïncident qu'après L / h ≥ 50. 96 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Pour la poutre avec une extrémité simplement appuyé et une autre extrémité encastrée, nous remarquons que la réponse est entre celle des poutres SA-SA et E-E. Ainsi, pour de petites valeurs de L / h, le cisaillement transversal est plus significatif que pour les poutres longues et minces. Comme nous avons mentionné précédemment, cela peut être attribué à l'augmentation de la flexibilité pour les petites rapports L / h (la théorie de Timoshenko). la fréquence non dimesionelle 4,5 p=0 4 CBT TBT p=1 3,5 p=5 3 2,5 0 20 40 60 80 100 Ratio longeur-épaisseur L/h L’effet de L/h sur la fréquence fondamentale non dimensionnelle (SA-SA) Fig.4.30 la fréquence non dimensionelle 10 p=0 9 p=1 8 p=5 CBT 7 TBT 6 5 0 Fig.4.31 20 40 60 Ratio longeur-épaisseur L/h 80 100 L’effet de L/h sur la fréquence fondamentale non dimensionnelle (E-E) 97 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel la fréquence non dimensionelle 7 p=0 6,5 6 p=1 5,5 CBT p=5 5 TBT 4,5 4 3,5 0 20 40 60 Ratio longeur-épaisseur L/h 80 100 L’effet de L/h sur la fréquence fondamentale non dimensionnelle (SA-E) Fig.4.32 La figure 4.33 présente l'effet de l’exposant p sur la fréquence fondamentale non dimensionnelle pour différents rapports L / h pour le cas SA-SA. Nous observons que la diminution de l’exposant de loi de puissance entraîne une augmentation de la fréquence non dimensionnelle. Les valeurs de fréquence les plus élevées sont obtenues pour des poutres entièrement céramique ( = 0), tandis que les valeurs de fréquence les plus faibles sont obtenues pour des poutres entièrement métalliques ( → ∞), ceci est dû au fait que l'augmentation du paramètre du matériau se conduit à une diminution de la valeur du module d'élasticité. La poutre devient flexible avec l'augmentation du paramètre du matériau. la fréquence non dimensionelle 4,5 L/h=5 L/h=10 L/h=20 4 L/h=50 L/h=100 3,5 3 0 Fig.4.33 1 2 3 paramètre du matériau p 4 5 L’effet du paramètre du matériau sur la fréquence fondamentale non dimensionnelle (SASA) [TBT] 98 Chapitre 4 4.5.3 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel L’effet de cisaillement transversal, des conditions aux limites, du paramètre du matériau, et du rapport d’élancement sur l’étude du flambement Nous reprenons pour ce cas l’exemple de la figure (4.18) avec les mêmes données géométriques et mécaniques de la poutre FGM. Cette fois ci nous utilisons les deux théories des poutres (CBT, TBT), la charge critique nondimensionnelle correspondant aux différents rapports longueur-épaisseur L/h, des poutres minces de type FGM avec différentes conditions aux limites (E-E, E-SA, SA-SA et E-L) et différents paramètres du matériau a été donné sur les tableaux 4.19 - 4.22. Tableau 4.19 La charge critique non-dimensionnelle de la poutre FGM (E-L) L/h Théories p=0 p=1 p=2 p=3 p=4 p=5 100 CBT 13,394 6,681 5,216 4,748 4,539 4,412 TBT 12,636 6,303 4,887 4,426 4,217 4,091 CBT 13,394 6,681 5,216 4,748 4,539 4,412 TBT 13,198 6,584 5,131 4,664 4,455 4,328 200 Tableau 4.20 La charge critique non-dimensionnelle de la poutre FGM (E-E) L/h Théories p=0 p=1 p=2 p=3 p=4 p=5 100 CBT 214,356 107,441 84,083 76,562 73,161 71,062 TBT 202,050 101,288 78,728 71,311 67,914 65,831 CBT 214,356 107,441 84,083 76,562 73,161 71,062 TBT 211,178 105,852 82,695 75,196 71,794 69,698 200 Tableau 4.21 La charge critique non-dimensionnelle de la poutre FGM (E-SA) L/h Théories p=0 p=1 p=2 p=3 p=4 p=5 100 CBT 109,612 54,820 42,854 39,016 37,290 36,231 TBT 103,361 51,697 40,138 36,353 34,630 33,578 CBT 109,612 54,820 42,854 39,016 37,290 36,231 TBT 107,998 54,013 42,150 38,324 36,597 35,539 200 99 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Tableau 4.22 La charge critique non-dimensionnelle de la poutre FGM (SA-SA) L/h Théories p=0 p=1 p=2 p=3 p=4 p=5 100 CBT 53,578 26,752 20,896 19,023 18,184 17,671 TBT 50,537 25,235 19,577 17,730 16,892 16,382 CBT 53,578 26,752 20,896 19,023 18,184 17,671 TBT 52,793 26,361 20,554 18,687 17,848 17,335 200 D’après les tableaux, nous observons que l’augmentation du paramètre du matériau entraîne une diminution de la charge non-dimensionnelle de flambement. On peut voir aussi que cette valeur est plus importante pour les poutres homogènes que pour les poutres FGM. Nous remarquons aussi que, les charges non-dimensionnelles de flambement ne dépendent pas de la variation du rapport L/h, elles restent constantes pour la théorie d’Euler Bernoulli. La différence entre les charges non-dimensionnelles de flambement obtenue par la théorie d'Euler et de Timoshenko devient négligeable quand on augmente le rapport d’élancement. 4.6 Etude de la flexion des poutres FGM en utilisant une nouvelle théorie à ordre élevé L’objectif de cette partie est de présenter une nouvelle théorie à ordre élevé qui prend en considération l’effet de cisaillement transverse afin d’analyser le comportement en flexion des poutres épaisses fonctionnellement graduées (FGM). Cette théorie a de fortes similitudes avec la théorie classique des poutres dans certaines notions telles que les équations de mouvement, les conditions aux limites et les expressions des contraintes résultantes. Les équations et les conditions aux limites sont dérivées à partir du principe des travaux virtuel. Ce nouveau modèle satisfait la nullité des contraintes de cisaillement transverse aux surfaces supérieure et inferieure de la poutre FGM. La distribution parabolique des contraintes de cisaillement transverse suivant l'épaisseur de la poutre est prise en considération dans cette analyse à l’aide d’une fonction de forme polynômiale. Les propriétés matérielles de la poutre FGM varient selon une distribution de loi de puissance en termes de fraction volumique des constituants. On peut conclure que cette théorie est efficace et simple pour l’analyse de la flexion statique des poutres fonctionnellement graduées. 100 Chapitre 4 4.6.1 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Théorie de déformation de cisaillement à ordre élevé Le champ de déplacement d’un point matériel situé aux coordonnées (x, y, z) dans la poutre s’écrit comme suit : (4-130a) (4-130b) La fonction de et ces dérivées sont données comme suit : (4-131a) (4-131b) (4-131c) Par compensation de l’équation (4-131a) dans (4-130) on peut trouver : (4-132a) (4-132a) Avec, , sont les déplacements dans les directions x, z ; , et sont les déplacements du plan médian, représente la fonction de cisaillement déterminant la distribution des contraintes et des déformations transversales suivant l’épaisseur. Le champ de déplacement de la théorie classique des poutres (CBT) est obtenu en posant . La théorie du premier ordre (first- order shear déformation theory ou FSDT) est obtenue en posant . En plus, la théorie des déformations du troisième ordre (the third-order shear deformation theory ou TSDT) Reddy [100] est obtenue par: (4-133) La théorie de déformation de cisaillement sinusoïdal (The sinusoidal shear deformation theory ou SSDT) de Touratier [101] est obtenue en posant : (4-134) En plus, la théorie de déformation de cisaillement exponentielle (ESDPT) de Karama [102] est obtenue en posant : (4-135) Le champ de déformation associé au champ de déplacement de l’équation (4-130) est : 101 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel (4-136a) (4-136b) = aux surfaces limites (supérieure et inferieure) de la poutre, ce qui implique la nullité des contraintes de cisaillement transverse sur les surfaces supérieure et inferieure de la poutre est égal à zéro quand . Ceci implique que la contrainte de cisaillement est maximale au niveau du plan médian, : est la déformation de cisaillement de l’axe neutre. Maintenant, nous introduisons l'angle de rotation perpendiculaire à la ligne médiane ou lorsque , par conséquent, nous avons: (4-137) peut être exprimée en fonction de la flexion Donc, la déformation normale transversale et la rotation de la section comme suit : (4-138a) (4-139b) Si , la déformation normale est égale : 4.6.2 Résultats numériques Géométrie de la poutre FGM : b=h/100=0.001m, h=0.1m. Les propriétés mécaniques de la poutre FGM : Céramique : métal : m = 10.103 GPa, m c = 10.104 GPa, c = 0.25, = 0.25. La poutre a une longueur L. Deux cas sont considérés; L / h est égale à 100 (poutre mince) et aussi L / h à 5 (poutre épaisse), voir (Fig.4.34). Les quantités non-dimensionnelles utilisées ici sont: , 102 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Fig.4.34 Les coordonnées et la géométrie de la poutre FGM 4.6.2.1 Le premier cas : L/h=100 9,375 8,75 8,125 7,5 6,875 6,25 5,625 5 4,375 3,75 3,125 2,5 1,875 1,25 0,625 0 L(m) w(m) 0,00E+00 -1,00E-02 p=0 -2,00E-02 p=1 -3,00E-02 p=2 p=3 -4,00E-02 p=4 -5,00E-02 p=5 -6,00E-02 -7,00E-02 -8,00E-02 Fig.4.35 L’évolution de la flèche totale de la poutre en fonction des divers paramètres du matériau au milieu de la poutre (L/h=100) 0,5 0,4 0,3 0,2 p=0 z/h 0,1 p=1 0 p=2 -0,1 p=3 -0,2 p=4 -0,3 p=5 -0,4 -0,5 -3,00E+07 Fig.4.36 -2,00E+07 -1,00E+07 𝛔xx 0,00E+00 1,00E+07 La distribution des contraintes normales dans le sens de l’épaisseur au milieu de la poutre (L/h=100) 103 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel z/h 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0,00E+00 Fig.4.37 z/h 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0,00E+00 kaczkowski nouveau Levinson 5,00E+04 𝛕xz 1,00E+05 p=2 z/h 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0,00E+00 p=0 kaczkowski nouveau Levinson 5,00E+04 𝛕xz 1,00E+05 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0,00E+00 p=4 z/h 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0,00E+00 z/h z/h Chapitre 4 kaczkowski nouveau Levinson 5,00E+04 𝛕xz 1,00E+05 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0,00E+00 p=1 kaczkowski nouveau Levinson 5,00E+04 𝛕xz 1,00E+05 p=3 kaczkowski nouveau Levinson 5,00E+04 𝛕xz 1,00E+05 p=5 kaczkowski nouveau Levinson 5,00E+04 𝛕xz 1,00E+05 La distribution des contraintes de cisaillement dans le sens de l’épaisseur pour différentes théories à ordre élevé au point (x=0) (L/h=100) 104 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel 4.6.2.2 Le deuxième cas : L/h=5 L(m) 0,5 0,46875 0,4375 0,40625 0,375 0,34375 0,3125 0,28125 0,25 0,21875 0,1875 0,15625 0,125 0,09375 0,0625 0,03125 0 w(m) 0,00E+00 -5,00E-08 p=0 -1,00E-07 p=1 -1,50E-07 p=2 -2,00E-07 p=3 -2,50E-07 p=4 -3,00E-07 p=5 -3,50E-07 -4,00E-07 -4,50E-07 -5,00E-07 Fig.4.38 L’évolution de la flèche totale de la poutre en fonction des divers paramètres du matériau au milieu de la poutre (L/h=5) 0,5 0,4 z/h 0,3 0,2 p=0 0,1 p=1 0 p=2 -0,1 p=3 -0,2 p=4 -0,3 p=5 -0,4 -0,5 -8,00E+04 -6,00E+04 -4,00E+04 -2,00E+04 0,00E+00 2,00E+04 xx Fig.4.39 La distribution des contraintes normales dans le sens de l’épaisseur au milieu de la poutre (L/h=5) 105 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0,00E+00 p=0 z/h z/h Chapitre 4 kaczkowski nouveau Levinson 2,00E+03 𝛕xz 4,00E+03 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0,00E+00 Fig.4.40 z/h kaczkowski nouveau Levinson 6,00E+03 p=4 z/h z/h z/h p=2 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0,00E+00 2,00E+03 4,00E+03 𝛕xz kaczkowski nouveau Levinson 2,00E+03 4,00E+03 𝛕xz 6,00E+03 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0,00E+00 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0,00E+00 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0,00E+00 p=1 kaczkowski nouveau Levinson 2,00E+03 𝛕xz 4,00E+03 6,00E+03 p=3 kaczkowski nouveau Levinson 2,00E+03 𝛕xz 4,00E+03 6,00E+03 p=5 kaczkowski nouveau Levinson 2,00E+03 4,00E+03 𝛕xz 6,00E+03 La distribution des contraintes de cisaillement dans le sens de l’épaisseur pour différentes théories à ordre élevé au point (x=0) (L/h=5) 106 Chapitre 4 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel La flèche transversale au milieu de la poutre FGM est représenté sur les figures (4.35) et (4.38) pour les deux exemples (L/h=100 et L/h=5), respectivement et pour divers paramètres du matériau p. On remarque que, la flèche totale est plus importante pour les poutres entièrement métalliques que pour les poutres entièrement en céramique. Ceci est dû à l’influence du module de Young qui est élevé pour la céramique (10000GPa) par rapport à celui du métal (1000 GPa). Par conséquent la flèche totale augmente lorsque le paramètre du matériau p augmente. Les figures (4.36) et (4.39) présentent la distribution de la contrainte normale de la poutre FGM en fonction des différents paramètres du matériau p. Ces distributions sont linéaires pour les poutres homogènes (poutres entièrement en céramique ou entièrement en métal). Cependant, la distribution de la contrainte normale n’est pas linéaire pour la poutre FGM avec des paramètres du matériau p=1, 2,3, etc. L’amplitude des contraintes de compression et de traction sont inégales en grandeur pour la poutre FGM avec le paramètre du matériau p utilisé. De plus les contraintes de compression sont plus grandes en valeur absolue par rapport à la contrainte de traction. Les figures (Fig.4.37) et (Fig.4.40) représentent la variation de la contrainte de cisaillement à travers l'épaisseur de la poutre FGM pour les différents élancements (L / h = 100, L / h = 5, respectivement), différentes valeurs de p et différentes théories d’ordre élevé (Kaczkowski et Levinson) à x = 0. On peut observer que les courbes obtenues par la présente théorie de déformation de cisaillement sont proches de ceux donnés par rapport les deux théories de poutre (Kaczkowski et Levinson) pour toutes les valeurs de p et toute les rapports L / h. Dans le cadre de cette étude, nous avons présenté une nouvelle théorie à ordre élevé qui détermine les contraintes et les déplacements d’une poutre fonctionnellement graduée (FGM) simplement appuyée. Toutes les études comparatives effectuées ont montrées que les flèches et les contraintes obtenues par cette théorie, en comparaison avec les autres théories (Kaczkowski et Levinson) sont presque identiques sauf pour les contraintes de cisaillement. D'une manière générale, tous les modèles de déformation de cisaillement d’une poutre donnent des résultats différents, dans le cas de la contrainte de cisaillement transversal. Il peut être expliqué par les différentes fonctions de forme de contrainte de cisaillement transversal utilisé dans chacun des modèles. 107 Chapitre 4 4.7 Modélisation des poutres en matériau à gradient fonctionnel Conclusion Dans ce chapitre, nous avons présenté la formulation théorique d’un élément fini en FGM, en utilisant les deux théories de poutres : la théorie d’Euler Bernoulli (CBT) et la théorie de Timoshenko (TBT). Puis, nous avons abordé la validation de cet élément pour l’analyse des différents comportements (statique, dynamique, et aussi flambement) des poutres isotropes ainsi que des poutres en FGM à travers une série d’applications en flexion, vibration libre et en flambement. On peut conclure que l’utilisation de l’élément fini développé est capable de donner d’excellents résultats pour les différents comportements. Par ailleurs, on a aussi montré à travers une étude paramétrique, l'effet de certains paramètres, tels que le paramètre du matériau, le rapport L/h, le coefficient de Poisson…etc. sur les différentes analyses (statique, vibration, flambement). Ensuite, une nouvelle théorie à ordre élevé est proposée prenant en considération l’effet de cisaillement transverse. En plus, elle a une forte similitude avec la théorie classique des poutres dans de nombreux aspects, n'exige pas de facteur de correction de cisaillement, et donne une description parabolique de la contrainte de cisaillement à travers l’épaisseur tout en remplissant la condition de contrainte de cisaillement nulle sur les bords libres de la poutre. 108 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire 5.1 Introduction L'utilisation d'éléments plats triangulaires pour discrétiser les structures permet l’analyse des structures coque en FGM avec une précision satisfaisante. Cependant la présence des éléments finis membranaires (de classe C0) face aux éléments flexionnels (de classe C1) pose des problématiques exprimées  En termes de pauvreté en déplacement pour le traitement des aspects de flexion, ce qui oblige d’opter pour des réseaux denses afin d’approcher correctement la géométrie curviligne des coques et décrire les variations de contrainte.  Et en terme de problèmes de continuité et de conformité lorsqu’ils sont utilisés en jonction avec des éléments de plaques et lors du passage aux éléments de coques. La recherche de solutions à ces problèmes constitue l’objectif de notre contribution par le développement d’éléments de coques FGM à facettes planes basés sur la formulation en déformation et construits par superposition des éléments membranaires aux éléments flexionnels plus un couplage membrane-flexion . Ces éléments sont nuancés selon leurs caractéristiques fonctionnelles et selon la formulation adoptée pour chaque d’eux. 5.2 5.2.1 Formulation des éléments de flexion Elément de plaque mince « Pmi43 » 5.2.1.1 Caractéristiques C'est un élément fini de plaque mince triangulaire auquel on a rajouté un quatrième nœud fictif positionné à l'extérieur et loin du triangle (voir Fig.5.1). Cette position, à l'extérieur, est choisie pour éviter l'assouplissement de la matrice de rigidité entraînant une surestimation des déplacements nodaux. Chaque nœud possède trois degrés de liberté : la flèches 109 et les rotations et . Chapitre 5 Fig.5.1 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire Elément triangulaire de plaque mince avec trois degrés de liberté par nœud Les degrés de liberté correspondant à ce quatrième nœud sont par la suite éliminés par condensation statique de la matrice de rigidité au niveau élémentaire. Donc l'intérêt majeur de ce nœud fictif réside en l’enrichissement des champs de déplacements (raffinement p), et vise, par conséquent, une plus grande précision dans l’approximation de la solution. Sa formulation se base sur l'approche en déformation. Les fonctions d'interpolation des champs de déformation, par conséquent des déplacements et des contraintes sont développées en utilisant le triangle de Pascal. Le critère variationnel correspondant est celui de l'énergie potentielle totale. L’intégration analytique dans l’évaluation de la matrice de rigidité, est fortement intéressante pour éviter la perte de convergence; phénomène observé chez les éléments iso paramétriques (utilisant l’intégration numérique) qui sont très sensibles à la géométrie des éléments (leur convergence est conditionnée par un maillage régulier - non distordu). Les hypothèses de cette formulation sont celles de la théorie des plaques minces (théorie de Kirchhoff) en négligeant le cisaillement transversal. 5.2.1.2 Cinématique Dans la figure 5.2, les rotations autour des deux axes x et y sont notées dans les deux directions sont définies par les variables et et les pentes , avec : (5-1) L'hypothèse de la section droite implique une variation linéaire du déplacement sur l'épaisseur de la plaque. Ce qui se traduit par : (5-2) 110 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire Les expressions (5-2) permettent de découpler les champs des déplacements (u, v) de celui de la flèche (w) qui constitue, en référence aux hypothèses de Kirchoff, l'unique champ permettant de définir le comportement de la plaque. Fig.5.2 Déformation d'une plaque en flexion (Théorie de Kirchhoff) Ainsi, les déplacements sont donnés par : (5-3) Et les rotations sont données par : (5-4) Le tenseur de Green linéarisé est alors : ; (5-5) Les courbures liées aux déplacements sont données par : (5-6) 111 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire 5.2.1.3 Conditions de compatibilité cinématique Ces conditions [82] ont été établies par Saint Venant (1854). Leur satisfaction est obligatoire pour garantir l’unicité des déplacements. Les équations de compatibilité sont sous forme développée comme suit : (5-7) 5.2.1.4 Loi de comportement En état plan de contraintes et pour des matériaux orthotropes (FGM), l’hypothèse généralement admise pour le calcul des structures minces en FGM (poutres, plaques et coques), la loi de comportement s’écrit : (5-8) Ce qui se traduit en terme de relation "moments - courbures" par le système d'équations suivant : (5-9) Avec (5-10) 5.2.1.5 Equation d’équilibre L'équilibre d'un élément géométrique de dimensions dx dy est obtenu par le bilan des actions extérieures et des actions internes. En étudiant l’équilibre d’un tronçon de plaque soumis à une charge répartie obtient : 112 (Fig.5.3) on Chapitre 5 Fig.5.3 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire Les charges, les moments et les forces de cisaillement dans un élément de plaque En sommant les forces par rapport à l’axe z : (5-11) Où et sont respectivement les efforts tranchants dans les sections perpendiculaires aux axes x et y. L'expression (5-11) est simplifiée pour donner : (5-12) En sommant les moments par rapport à l’axe y et x : (5-13) D’où après simplification : (5-14) De la même manière et en étudiant l’équilibre suivant l’axe x, on trouvera comme troisième équation d’équilibre : (5-15) En remplaçant les valeurs des équations (5-12), (5-14) et (5-15) dans la relation établie par les équations (5-9), la condition d'équilibre se traduirait en fonction du déplacement "w" par l'expression suivante : (5-16) 5.2.1.6 Fonctions d’interpolation Pour les mouvements de corps rigide (MCR), les courbures liées aux déplacements sont nulles : (5-17) 113 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire En remplaçant dans les équations (5-6) les courbures par leurs valeurs données par les équations (5-17) et après intégration, on obtient les champs des déplacements représentant les mouvements de corps rigide qui se présentent comme suit : (5-18) Avec et des paramètres représentant les rotations respectivement autour des axes "y" et "x" et et du corps rigide représentant la translation (flèche) du corps rigide le long de la normale (axe "z"). Notre élément possède quatre nœuds (les trois sommets du triangle auquel on a rajouté un quatrième nœud fictif). Chacun de ces nœuds possède trois degrés de liberté. Donc les champs des déplacements, formulés par l’utilisation du modèle en déformation, possèdent 12 constantes indépendantes ( , .., ). Les trois premières ( ) sont utilisées dans les équations (5-18) pour représenter les mouvements de corps rigide. Les neuf autres ( , …, ) sont utilisés dans le modèle de déformation de l’élément. Ils sont répartis sur les fonctions d’interpolation des déformations de manière à satisfaire les équations (5-7) de compatibilité cinématique. Ainsi, les champs de déformation pour les modes supérieurs sont établis à partir du triangle de Pascal comme suit : (5-19) En remplaçant dans les équations (5-6) les courbures par leurs valeurs données par les équations (5-19) et après intégration, on obtient les champs des déplacements suivants : (5-20) Le champ final des déplacements est obtenu en additionnant les relations (5-18) et (5-20): (5-21) 114 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire Sous forme matricielle le champ des déplacements donné par les équations (5-21) s’écrit comme suit : (5-22) (5-23) Connaissant les coordonnées nodales ( , ) correspondant aux nœuds j (j=1,…,4) et par l’application de la relation (5-22) le vecteur des déplacements nodaux, au niveau élémentaire, est donné comme suit : (5-24) Avec, : Matrice des coordonnées nodales de la plaque mince. La forme matricielle développée de la matrice des coordonnées nodales de la plaque mince [ ] est donnée en annexe. De l’équation (5-24), on en déduit la valeur des paramètres " " qui sont données par le système d’équations suivant : (5-25) En remplaçant les valeurs des paramètres données par la relation (5-25) dans le système d’équation (5-22), on obtient la relation : (5-26) Dans laquelle, représente la matrice des fonctions d’interpolation pour le cas de la plaque mince. 115 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire par ses valeurs de l’équation (5-22), Les En remplaçant dans les équations (5-6), courbures liées aux moments prendront la forme développée suivante : (5-27) Ainsi, la matrice de déformation de la plaque mince est donnée comme suit : (5-28) 5.2.1.7 Matrice de rigidité élémentaire Le travail virtuel intérieur, élémentaire discrétisé est donné par l’expression : (5-29) Sachant que : (5-30) Et que : (5-31) Et en remplaçant dans l’expression (5-29) et par leurs valeurs données, respectivement dans les équations (5-30) et (5-31), on obtient : (5-32) Ainsi, la matrice de rigidité élémentaire tirée de l’expression (5-32) est la suivante : (5-33) L’expression (5-33) peut, s’écrire : (5-34) Où L’évaluation de l’expression est établie par intégration analytique des différentes composantes résultant du produit matriciel expressions prennent la forme . La matrice mince est donnée en annexe. 116 . Dont les relative à l'élément plaque Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire Enfin la matrice de rigidité élémentaire à prendre en considération au niveau de l’assemblage et de la construction de la matrice de rigidité globale de la structure, est celle obtenue après condensation de la matrice .Cette condensation statique concerne les degrés de liberté relatifs au quatrième nœud fictif. 5.2.2 Elément de plaque épaisse « Pep43 » 5.2.2.1 Caractéristiques C'est un élément fini de plaque épaisse triangulaire auquel on a rajouté un quatrième nœud fictif positionné à l'extérieur et loin du triangle (voir Fig. 5.4). Cette position, à l'extérieur, est choisie pour éviter l'assouplissement de la matrice de rigidité entraînant une surestimation des déplacements nodaux. Chaque nœud possède trois degrés de liberté : la flèches Fig.5.4 et les rotations et . Elément triangulaire de plaque épaisse avec trois degrés de liberté par nœud Les hypothèses de cette formulation sont celles de la théorie des plaques épaisses (théorie de Reissner-Mindlin). 5.2.2.2 Cinématique En considérant les hypothèses de la théorie de Reissner-Mindlin pour les plaques, les déplacements en un point du domaine dans un système d’axes cartésien sont établis comme suit : (5-35) Il est à noter que l'hypothèse de la section droite implique une variation linéaire du déplacement sur l'épaisseur de la plaque. 117 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire Et les rotations sont données par : (5-36) Le tenseur de déformation infinitésimal est alors : (5-37) Les courbures sont données par : (5-38) 5.2.2.3 Loi de comportement En état plan de contraintes et pour des matériaux à gradient fonctionnel, la relation "contraintes - déformations" selon la théorie de Reissner-Mindlin est donnée par le système d’équations suivant : (5-39) - k : le coefficient de réduction de la section pris généralement égal à 5/6. -D est donnée dans l’équation (5-10). - , , , , représentent respectivement les moments de flexion, le moment de torsion et les efforts tranchants par unité de longueur. 5.2.2.4 Fonctions d’interpolation Pour les mouvements de corps rigide (MCR), les courbures liées aux moments sont nulles : , (5-40) 118 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire En reportant (5-37) et (5-38) dans (5-40) et après intégration, on déduit les champs des déplacements représentant les modes à déformation nulle qui se présentent comme suit : (5-41) et des paramètres représentant les rotations autour des axes "y" et "x" et et du corps rigide respectivement représentant la translation (flèche) du corps rigide le long de la normale (axe "z"). Notre élément possède quatre nœuds, chacun de ses nœuds possède trois degrés de liberté. Donc les champs des déplacements, formulés par l’utilisation du modèle en déformation, possèdent 12 constantes indépendantes ( , .., ). Les trois premières ( , ) sont utilisées dans les équations (5-41) pour représenter les modes à déformation nulle. Les neuf autres ( , …, ) sont utilisés dans le modèle de déformation de l’élément. Ils sont répartis sur les fonctions d’interpolation des déformations de manière à satisfaire les équations (5-7) de compatibilité cinématique. Les champs de déformation pour les modes supérieurs sont établis à partir du triangle de Pascal comme suit : (5-42) Après intégration des équations (5-42) et leur addition aux déplacements donnés dans (5-41), le champ final des déplacements devient : (5-43) Sous forme matricielle: (5-44) Le vecteur des déplacements nodaux, au niveau élémentaire, devient : 119 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire (5-45) Où, : Matrice des coordonnées nodales de la plaque épaisse. La matrice des coordonnées nodales de la plaque épaisse développée est donnée en annexe. De l’équation (5-45), on en déduit les valeurs des paramètres " " données par le système d’équations suivant : (5-46) En remplaçant les valeurs des paramètres données par la relation (5-46) dans le système d’équation (5-44), on obtient la relation : (5-47) Dans laquelle, représente la matrice des fonctions d’interpolation pour le cas de la plaque épaisse. par ses expressions de l’équation (5-47), Les En remplaçant dans les équations (5-37), courbures prendront la forme développée suivante : (5-48) Ainsi, la matrice de déformation prend la forme suivante : (5-49) 120 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire 5.2.2.5 Matrice de rigidité élémentaire Le travail virtuel intérieur, élémentaire discrétisé est donné par l’expression : (5-50) (5-51) (5-52) Et en remplaçant dans l’expression (5-50) et par leurs valeurs données, respectivement dans les équations (5-51) et (5-52), on obtient : (5-53) Ainsi, la matrice de rigidité élémentaire tirée de l’expression (5-53) s’exprime : (5-54) L’expression (5-54) peut, s’écrire : (5-55) Où La matrice relative 5.3 5.3.1 à l'élément "plaque épaisse" est donnée en annexe. Formulation de l’élément de membrane Elément membranaire « T43 » 5.3.1.1 Caractéristiques Cet élément de membrane, baptisé T43 n’est autre que l’élément de membrane triangulaire développé par [103] avec ses quatre nœuds et ses trois degrés de liberté par nœud (les deux translations u et v et la rotation autour de la normale « drilling rotation » 121 ), voir (Fig.5.5). Chapitre 5 Fig.5.5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire Elément T43 ; Triangle avec quatre nœuds et trois degrés de liberté par nœud (deux translations u et v et la rotation ) Cet élément a été développé sur la base des éléments suivants : * Cinématique de base : (5-56) (5-57) * Champs des déplacements : (5-58) * Matrice des coordonnées nodales : (5-59) (5-60) Avec, : Matrice des coordonnées nodales de l’élément membranaire. 122 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire Le développement de la matrice des coordonnées nodales pour l’élément fini « T43 » est détaillé en annexe. * Matrice des coordonnées nodales : (5-61) (5-62) Dans laquelle, représente la matrice des fonctions d’interpolation de l’élément membranaire. * Matrice des déformations : (5-63) (5-64) Ainsi, la matrice de déformation est donnée comme suit : (5-65) 5.3.1.2 Loi de comportement En état plan de contraintes et pour des matériaux à gradient fonctionnel, la loi de comportement s’écrit comme suit: (5-66) 5.3.1.3 Matrice de rigidité Le travail virtuel intérieur, élémentaire discrétisé est donné par l’expression : (5-67) Sachant que : 123 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire (5-68) Et que : (5-68) Et en remplaçant dans l’expression (5-67) et par leurs valeurs données, respectivement dans les équations (5-68) et (5-69), on obtient : (5-70) Ainsi, la matrice de rigidité élémentaire tirée de l’expression (5-70) est la suivante : (5-71) L’expression (5-71) peut, s’écrire : (5-72) Avec Le développement de la matrice 5.4 de l’élément membranaire est donné en annexe. Formulation de l’élément de couplage 5.4.1 Matrice de rigidité de couplage membrane-flexion (coque mince) Le travail virtuel intérieur, élémentaire discrétisé est donné par l’expression : (5-73) Sachant que : (5-74) Et que : (5-75) et par leurs expressions données, Et en remplaçant dans l’expression (5-73) respectivement dans les équations (5-74) et (5-75), on obtient : (5-76) Ainsi, la matrice de rigidité élémentaire tirée de l’expression (5-76) est la suivante : (5-77) L’expression (5-77) peut, s’écrire : 124 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire (5-78) Avec La matrice 5.4.2 relative à l'élément de couplage (coque mince) est donnée en annexe. Matrice de rigidité de couplage membrane-flexion (coque épaisse) Le travail virtuel intérieur, élémentaire discrétisé est donné par l’expression : (5-79) Sachant que : (5-80) Et que : (5-81) Et en remplaçant dans l’expression (5-79) et par leurs expressions données, respectivement dans les équations (5-80) et (5-81), on obtient : (5-82) Ainsi, la matrice de rigidité élémentaire tirée de l’expression (5-82) est la suivante : (5-83) L’expression (5-83) peut, s’écrire : (5-84) Où La matrice 5.5 relative à l'élément de couplage (coque épaisse) est donnée en annexe. Formulation des éléments de coque FGM Maintenant on va développer la formulation des éléments de coques dont les matrices de rigidité élémentaires sont obtenues en superposant la matrice prenant en compte l’effet de flexion à une matrice prenant en compte l’effet de membrane et une matrice de couplage. 125 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire Les éléments utilisés pour ce but sont ceux développés précédemment : - Utilisation de l’élément T43, pour ce qui est de la rigidité prenant en compte l’effet de membrane, - Utilisation de l’élément plaque mince, pour ce qui de la rigidité prenant en compte l’effet de flexion sans cisaillement transversal (pour la construction des éléments de coque mince), - Utilisation de l’élément plaque épaisse, pour ce qui de la rigidité prenant en compte l’effet de flexion avec cisaillement transversal (pour la construction des éléments de coque épaisse), - Utilisation de l’élément de couplage (cpm pour la coque mince, cpe pour la coque épaisse). La combinaison de tous ces éléments permet de définir deux éléments de coque : Le premier est un élément destiné pour discrétiser les structures épaisses ayant des comportements en cisaillement dominants mais qui sont également bien adaptés au calcul des structures minces. Il s’agit de :  L’élément de coque baptisé « C.ep43 », dont la matrice de rigidité est structurée autour de celles d’élément de plaque épaisse, de membrane «T43 » et d’élément de couplage. Le deuxième est un élément destiné pour discrétiser les structures minces ayant des comportements flexionnels dominants. Il s’agit de :  L’élément de coque baptisé « C.mi43 », dont la matrice de rigidité est structurée autour de celles d’élément de plaque mince, de membrane «T43 » et d’élément de couplage. L’élément de coque peut avoir une orientation quelconque dans le repère global XYZ. Par contre l’élément plan est défini dans un repère local xyz (Fig.5.6) Fig.5.6 L’élément de plaque par rapport aux deux repères (global et local) 126 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire * Le passage du repère local au repère global est établi par le biais de la matrice de rotation comme suit : (5-85) Tableau 5.1 Modes de construction des éléments de coque * L’éclatement des termes de rigidité à l’intérieur de la matrice de rigidité de l’élément de coque (18x18) au niveau élémentaire avant assemblage est schématisé sur (Fig.5.7). Pour ce qui est des éléments de coques « C.mi43» et « C.ep43 » la difficulté liée à la rigidité suivant est levée dans la formulation de l’élément membranaire en introduisant la rotation autour de la normale « drilling rotation » dans la construction de la matrice de rigidité élémentaire correspondante. 127 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire au niveau élémentaire Fig.5.7 Structure type de la matrice de rigidité de l’élément coque construite dans le système d’axes des coordonnées locales 5.6 Test de validation Pour valider nos éléments vis-à-vis des comportements membranaires et flexionnels, on les a soumis à un ensemble de cas tests. Pour chaque cas test, le résultat obtenu est comparé, à la solution de référence selon la théorie des poutres. 5.6.1 Coque mince 5.6.1.1 Validation vis-à-vis du comportement membranaire Considérons une coque FGM (Fig.5.8) d’épaisseur h=0.1m de longueur L=10m et de largeur b=1m. Cette dernière est constituée d’un mélange de deux matériaux distincts (métal et céramique) et elle est sollicitée à la traction par une charge P=0.1Pa. Les coordonnées x et y sont suivant le plan et l’axe z est dirigé selon l’épaisseur. La surface supérieure est faite entièrement en céramique tandis que celle inférieure est en métal. 128 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire Les propriétés du matériau de la céramique sont sont et celles du métal GPa, , Fig.5.8 Tableau 5.2 Coque-consol FGM en traction Déplacement u au point de coordonnées (10,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau selon T43, et la théorie des poutres minces Paramètre du matériau Solution selon T43 La flèche w 8,59E-06 Solution selon la théorie des poutres minces 8,33E-06 0 1 1,15E-05 1,15E-05 3,82E-04 2 1,29E-05 1,31E-05 4,64E-04 3 1,37E-05 1,39E-05 4,60E-04 4 1,43E-05 1,44E-05 4,34E-04 5 1,47E-05 1,47E-05 4,05E-04 T43 0,00E+00 solution selon la théorie des poutres" 1,60E-05 1,50E-05 1,40E-05 1,30E-05 u(m) 1,20E-05 1,10E-05 1,00E-05 9,00E-06 8,00E-06 0 1 2 3 4 5 paramètre du matériau p Fig.5.9 Déplacement u au point de coordonnées (10,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau 129 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire 5.6.1.2 Coque-console en FGM soumise à une charge ponctuelle à son extrémité On reprend pour ce cas test l'exemple précédent avec les mêmes données géométriques et mécaniques du matériau, mais cette fois ci la coque FGM est sollicitée à la flexion par une charge P=0.1Pa (Fig.5.10). Fig.5.10 Tableau 5.3 Coque-consol en FGM soumise à une charge ponctuelle Déplacement w au point de coordonnées (10,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau selon C.mi43, et la théorie des poutres minces Paramètre du matériau Solution selon C.mi43 Le déplacement u 3,42E-01 Solution selon la théorie des poutres minces 3,33E-01 0 1 4,57E-01 4,62E-01 -3,86E-04 2 4,89E-01 4,99E-01 -4,68E-04 3 5,07E-01 5,15E-01 -4,64E-04 4 5,21E-01 5,25E-01 -4,39E-04 5 5,33E-01 5,34E-01 -4,09E-04 Solution selon la théorie des poutres 0,00E+00 C.mi43 5,50E-01 5,00E-01 4,50E-01 w(m) 4,00E-01 3,50E-01 3,00E-01 0 Fig.5.11 1 2 3 paramétre du matériau p 4 5 Déplacement w au point de coordonnées (10,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau 130 Chapitre 5 5.6.2 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire Coque épaisse 5.6.2.1 Validation vis-à-vis du comportement membranaire Il s’agit pour ce test, d’une coque épaisse en FGM sollicité à la traction (Fig.5.8). Les données géométriques et mécaniques de la coque sont données sur le tableau 5.4. Tableau 5.4 Les caractéristiques géométriques et mécaniques de la coque FGM Longueur Epaisseur 10m 1m 1,2E6 GPa Coefficient de Poisson Chargement Tableau 5.5 0 0,1 Pa Déplacement u au point de coordonnées (10,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau selon T43, et la théorie des poutres épaisses Paramètre du matériau 0 Solution selon Solution selon la théorie T43 des poutres épaisses 8,75E-07 8,33E-07 La flèche w 0,00E+00 1 1,17E-06 1,15E-06 3,85E-06 2 1,31E-06 1,31E-06 4,67E-06 3 1,40E-06 1,39E-06 4,63E-06 4 1,46E-06 1,44E-06 4,38E-06 5 1,50E-06 1,47E-06 4,08E-06 T43 Solution selon la théorie des poutres 1,60E-06 1,50E-06 1,40E-06 1,30E-06 u(m) 1,20E-06 1,10E-06 1,00E-06 9,00E-07 8,00E-07 0 1 2 3 4 5 paramètre du matériau p Fig.5.12 Déplacement u au point de coordonnées (10,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau 131 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire 5.6.2.2 Validation vis-à-vis du comportement flexionnel On reprend l'exemple précédent avec les mêmes données géométriques et mécaniques du matériau, la coque FGM est sollicitée à la flexion (Fig.5.10). Tableau 5.6 Déplacement w au point de coordonnées (10,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau selon C.ep43, et la théorie des poutres épaisses Paramètre du matériau Solution selon C.ep43 Le déplacement u 3,48E-4 Solution selon la théorie des poutres épaisses 3,35E-04 0 1 4,64E-4 4,64E-04 3,85E-06 2 4,98E-4 5,02E-04 4,67E-06 3 5,16E-4 5,18E-04 4,63E-06 4 5,30E-4 5,29E-04 4,38E-06 5 5,42E-4 5,37E-04 4,08E-06 solution selon la théorie des poutres 0,00E+00 C.ep43 6,00E-04 5,50E-04 5,00E-04 4,50E-04 w(m) 4,00E-04 3,50E-04 3,00E-04 0 Fig.5.13 1 2 3 paramètre du matériau p 4 5 Déplacement w au point de coordonnées (10,0.5) en fonction des différents paramètres du matériau Les deux tableaux 5.2 et 5.5 et les graphes des figures 5.9 et 5.12 représentent le déplacement u à l’extrémité de la coque FGM mince et épaisse, respectivement en fonction des différents paramètres du matériau, et la comparaison du comportement de l'élément T43, par rapport à la solution de référence (selon la théorie des poutres minces et épaisses, respectivement). 132 Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire Les tableaux 5.3 et 5.6 et les figures 5.11 et 5.13 regroupent les résultats du déplacement w à l’extrémité de la coque FGM mince et épaisse, respectivement en fonction des différents paramètres du matériau, la comparaison du comportement de cet élément avec ceux obtenues par la solution de référence (selon la théorie des poutres minces et épaisses, respectivement) a été faite. On voit que les deux déplacements d’une coque entièrement en céramique est moins importante que celle d’une coque FGM, cela est dû au fait que les valeurs les plus élevées de p correspondent à haute portion de métal, ainsi les déplacements axial et transversal augmentent quand l’indice matériel p augmente. On remarque aussi que le comportement très performant de nos éléments, cela est apparait dans la comparaison de ces résultats avec les solutions selon la théorie des poutres, soit pour le traitement des aspects de dilatation, des aspects de flexion et des aspects de flexion avec cisaillement transversale. 5.6.3 Une coque carrée en FGM simplement appuyée soumise à une charge concentré ou répartie Dans cet exemple, les résultats numériques pour la flexion d’une coque carrée en FGM sont présentés pour démontrer la validité de l’approche qu’on a considéré (formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire). C'est supposé que la coque FGM se compose d'une céramique (alumine) et d'un métal (aluminium), (Fig.5.14), la coque FGM soumis soit à une charge uniformément répartie , ou à une charge concentrée F, au centre de la coque . En effet leur formulation repose sur la théorie classique des plaques minces. Céramique (alumina) : GPa, métal (aluminum) : Fig.5.14 Coque en FGM 133 GPa, . Chapitre 5 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire Les résultats des déplacements non dimensionnels au centre ( une charge concentré F et charge répartie ) d’une coque FGM soumise à sont normalisés respectivement par les équations suivantes : , : Le déplacement au centre de la coque FGM a : La longueur du côté, Les deux tableaux 5.7 et 5.8 regroupent les déplacements non dimensionnels au centre de la coque FGM, soumise à une charge concentré F et à une charge répartie , respectivement, pour différentes valeurs du paramètre du matériau et pour différents maillage. Les résultats concernant les déplacements non dimensionnels au centre de la coque FGM sont en bon accord avec les valeurs données par Li et al. [104], elles montrent une convergence rapide du modèle vers les valeurs de référence pour les deux chargements et pour toutes les valeurs du paramètre du matériau p. Tableau 5.7 Les déplacements non dimensionnels au centre d’une coque carrée en FGM simplement appuyée soumise à une charge concentrée Maillage P=0 P=1 P=2 P=3 P=10 métal 2x2 2,0245 3,4527 4,0253 4,3770 5,9299 11,0012 4x4 2,1035 3,7243 4,4402 4,8400 6,3482 11,4187 8x8 2,1365 3,7822 4,5049 4,9097 6,4480 11,5985 16x16 2,1392 3,7794 4,4961 4,8995 6,4459 11,6129 Li et al. [104] 2,1371 4,2876 5,4947 6,0370 7,1333 11,602 Tableau 5.8 Les déplacements non dimensionnels au centre d’une coque carrée en FGM simplement appuyée soumise à une charge répartie Maillage P=0 P=1 P=2 P=3 P=10 métal 2x2 0,5061 0,8631 1,0063 1,0942 1,4824 2,7475 4x4 0,6985 1,2316 1,4640 1,5953 2,1012 3,7920 8x8 0,7391 1,2968 1,5357 1,6727 2,2150 4,0122 Li et al. [104] 0,7483 1,5012 1,9238 2,1137 2,4976 4,0620 134 Chapitre 5 5.7 Formulation d’éléments de coques FGM à base triangulaire Conclusion L'objet de ce chapitre est la mise au point d'une série d'éléments finis de coque FGM permettant de prendre en compte l'essentiel des situations rencontrées dans le calcul des ouvrages. Nous avons utilisé d'éléments plats triangulaires pour discrétiser les structures coques FGM, puis nous avons détaillé la démarche de formulation des deux éléments de coque en FGM un mince et l’autre épaisse. La bonne performance de ces éléments a été clairement démontrée à travers une série de test de validation. 135 Conclusion générale et recommandations Conclusion générale et perspectives 1 Conclusion générale Dans cette étude, un élément fini avec trois degré de liberté par nœud, a été développé, en utilisant les différentes théories de poutres: la théorie d’Euler Bernoulli (CBT) et la théorie de Timoshenko (TBT). Cet élément est destiné à l’analyse des différents comportements des poutres en FGM. La performance, la fiabilité et la polyvalence de l’élément développé ont été évaluées à travers une série d’applications en flexion, vibration libre et aussi en flambement des poutres isotropes, et des poutres FGM avec différents cas de chargement, de géométrie et des conditions aux limites. Les résultats obtenus ont été comparés avec des solutions analytiques de références, et ceux obtenus par des modèles d’éléments finis. Pour les différentes analyses (statique, vibration et de flambement) les exemples numériques montrent que les éléments finis développés sont capables de donner d'excellents résultats. En plus, on a montré à travers une étude paramétrique, l'effet de certains paramètres tels que le paramètre de matériau, le rapport L/h, le coefficient de Poisson…etc, sur la variation du déplacement transversal, les contraintes normales et de cisaillement, les fréquences naturelles, ainsi que les charges critiques d’une poutre FGM. Ensuite, une nouvelle théorie à ordre élevé a été proposée, qui prend en considération l’effet de cisaillement transverse afin d’analyser le comportement en flexion des poutres fonctionnellement graduées, elle a une forte similitude avec la théorie classique des poutres dans de nombreux aspects, n'exige pas de facteur de correction de cisaillement, et donne une description parabolique de la contrainte de cisaillement à travers l’épaisseur tout en remplissant la condition de contrainte de cisaillement nulle sur les bords libres de la poutre. Une comparaison entre les théories d’ordre élevé est établie, Toutes les études comparatives ont démontrées que les résultats obtenus par la présente théorie de déformation de cisaillement sont proches de ceux donnés par les autres théories de poutre (Kaczkowski et Levinson) pour tous les valeurs de p et tous les rapports L / h. D'une manière générale, tous les modèles de déformation de cisaillement d’une poutre donnent des résultats différents, dans le cas de la contrainte de cisaillement transversal. Il peut être expliqué par les différentes fonctions de forme de contrainte de cisaillement transversal utilisé dans chacun des modèles. L’objectif de la deuxième partie est la mise au point d'une série d'éléments finis de coque FGM permettant de prendre en compte l'essentiel des situations rencontrées dans le calcul des ouvrages. L'utilisation des éléments plats triangulaires pour discrétiser les 136 Conclusion générale et recommandations structures coques FGM est l’approche qu’on a considéré. L'avantage essentiel des éléments appartenant à cette catégorie est leur simplicité relative. En effet leur formulation repose sur les théories classiques des plaques (minces et épaisses). De ce fait on évite toutes les complexités dues à la prise en compte des courbures dans les théories des coques. En ce sens, la géométrie des coques FGM peut être approchée en utilisant les éléments plans par superposition d’un élément de membrane et d’un élément de flexion et un autre élément de couplage. La comparaison des résultats obtenus avec des solutions de références, a montré la performance et la précision de l’approche proposée. 2 Perspectives En perspectives, il est prévu d’appliquer le modèle d’ordre élevé proposé pour le calcul de différentes formes de structures FGM sous la combinaison des différents types de chargement (mécanique, vibratoire, flambement). En ce qui concerne les coques en FGM, leur maturation reste nécessaire. Il est intéressant d’étudier leur comportement en dynamique, en flambement et de conforter les performances observées par plus de tests de validation. Enfin, on peut dire que ce modeste travail s’inscrit dans le cadre de la contribution de notre laboratoire dans le domaine des structures en matériaux composites à gradient fonctionnel. 137 Références bibliographiques Références bibliographiques [1] Reinhart, T.J. and Clements, L.L. (1993), Introduction to composites. Engineered materials handbook - Volume 1: Composites, Ohio, USA: ASM International, p. 2734. ISBN 0871702797 (v.1). [2] Gurdal, Z., Haftka, R.T., and Hajela, P. (1999), Design and optimization of laminated composite materials, Canada: Wiley-Interscience Publication, 352 p. ISBN 047125276X. [3] Kim, J.K. and Mai, Y.W. (1998), Engineered interfaces in fiber reinforced composites, Pays-Bas: Elsevier Science Ltd.416 p. ISBN 0080426956. [4] Dubois, T. (2005), Boeing 787 : Les belles promesses de la légèreté. Science & vie, hors-série N° 231, p. 22-29. [5] Jones, R.M. (1975), Mechanics of composite materials, Washington D.C., USA: Scripta Book Company, 355 p. ISBN 0070327904. 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1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 −y1 x1 x1 0 y1 x1 0 0 1 −y2 x2 x2 0 y2 x2 1 0 0 −y3 x3 x3 0 y3 x3 1 0 0 −y4 x4 x4 0 y4 x4 0 0 1 x1 y1 0 x1 − 2 x 2 y2 0 x2 − 2 x 3 y3 0 x3 − 2 x 4 y4 0 x4 − 2 0 y1 0 0 y2 0 0 y3 0 0 y4 0 y12 0 0 x1 y1 y1 2 0 x 2 y2 y2 2 0 x 3 y3 y3 2 0 x 4 y4 y4 2 −y1 1 0 0 1 0 0 −x1 1 0 −x2 1 0 −y1 0 1 −y2 0 1 Apm = −x12 2 x1 x13 6 x12 2 0 0 −x22 2 x23 6 x22 2 x2 0 0 −x32 2 x33 6 x32 2 0 −x3 1 −y3 0 x3 0 0 1 0 0 1 1 −y4 −x42 2 0 −x4 0 x4 x43 6 x42 2 0 0 1 0 1 0 − x12 y1 2 x1 y1 x12 2 x22 y2 − 2 x 2 y2 x22 2 −x32 y3 2 x 3 y3 x32 2 −x42 y4 2 x 4 y4 x42 2 −x13 y1 6 x12 y1 2 x13 6 −x23 y2 6 x22 y2 2 x23 6 −x33 y3 6 x32 y3 2 x33 6 −x43 y4 6 x42 y4 2 x43 6 149 x22 y23 −x23 y22 0 x22 x32 y33 −x33 y32 0 x32 x42 y43 −x43 y42 0 x42 x1 −y2 −2x2 y2 −3x22 y22 x2 −y3 −2x3 y3 −3x32 y32 −y4 −2x4 y4 −3x42 y42 y32 0 y42 0 y12 2 0 y1 − 0 x12 −3x12 y12 0 − x12 y13 −x13 y12 −2x1 y1 y22 I-b / Elément fini de plaque mince « Pmi43 » x1 y12 −x12 y1 y22 2 0 x2 y22 −x22 y2 x3 y32 −x32 y3 x4 y42 −x42 y4 −x1 y12 2 y12 2 x1 y1 −x2 y22 2 y22 2 y2 x 2 y2 −y32 2 −x3 y32 2 y32 2 0 y3 x 3 y3 −y42 2 −x4 y42 2 y42 2 0 y4 x 4 y4 −y13 6 0 y12 2 −y23 6 0 y22 2 −y33 6 0 y32 2 −y43 6 0 y42 2 x3 x4 −x1 y13 −x1 y1 6 2 y13 y1 6 2 x1 y12 x1 2 2 −x2 y23 −x2 y2 6 2 y23 y2 6 2 x2 y22 x2 2 2 −x3 y33 −x3 y3 6 2 y33 y3 6 2 x3 y32 x3 2 2 −x4 y43 −x4 y4 6 2 y43 y4 6 2 x4 y42 x4 2 2 Annexe I I-c / Elément fini de plaque épaisse « Pep43 » −x12 2 −x12 y1 2 −y12 2 0 x1 x1 y1 0 0 1 0 −x2 −y2 0 −x1 1 −y1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 Ape = 1 0 0 −x3 1 0 −y3 0 1 y1 x1 y1 −x22 2 x12 2 −x22 y2 2 −y22 2 x2 x 2 y2 0 −x2 y22 2 −y22 2 0 x22 y2 x 2 y2 −x3 y32 2 −y32 2 −x32 2 2 −x32 y3 2 −y32 2 x3 x 3 y3 0 0 x32 y3 x 3 y3 −x4 y42 2 −y42 2 −x42 2 2 −x42 y4 2 −y42 2 0 −x4 1 −y4 0 x4 x 4 y4 0 0 0 1 0 x42 2 y4 1 −x1 y12 2 −y12 2 x 4 y4 150 −x1 y1 2 y1 2 x1 2 −x2 y2 2 y2 2 x2 2 −x3 y3 2 y3 2 x3 2 −x4 y4 2 y4 2 x4 2 −x12 y1 4 x1 y1 2 x12 4 −x22 y2 4 x 2 y2 2 x22 4 −x32 y3 4 x 3 y3 2 x32 4 −x42 y4 4 x 4 y4 2 x42 4 −x1 y12 4 y12 4 x1 y1 2 −x2 y22 4 y22 4 x 2 y2 2 −x3 y32 4 y32 4 x 3 y3 2 −x4 y42 4 y42 4 x 4 y4 2 −x1 2 1 2 0 −x2 2 1 2 0 −x3 2 1 2 0 −x4 2 1 2 0 −y1 2 0 1 2 −y2 2 0 1 2 −y3 2 0 1 2 −y4 2 0 1 2 Annexe II ANNEXE II – Matrices [𝑲𝟎 ] II-a / Elément fini de membrane « T43 » * Forme générale 𝐾𝑇43 0 = E(z)dz 1−ν 2 0 0 0 1 0 y 0 0 0 y2 2xy 3 0 0 0 0 0 0 0 1 x 0 −x 2 −2yx 3 0 0 0 0 0 2 1 x ν 0 y 0 2y 0 0 2x ν 1 0 0 0 1−ν 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 y 0 0 1 x 0 0 x y 0 y2 0 −x 2 2y 0 2xy 3 −2yx 3 0 0 0 dxdy 2x * Forme développée avant intégration analytique 𝐾𝑇43 0 = E(z)dz 1 − ν2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 y ν xν 0 y 2 − νx 2 2xy 3 − 2νyx 3 0 0 0 0 0 0 0 0 y 4d 2xd 2xd y2 + x2 d 0 νy 2yd xyν + xyd 4yd 2xyd 0 y 3 − νyx 2 0 2xy 4 − 2y 2 x 3 ν 0 4xd 0 0 0 ν 0 yν 1 x 0 y2 ν − x2 −2x 3 y + 2xy 3 ν 2x 2 d 0 0 0 νx 2yd xyν + xyd x 2 x + y2 d 2y 2 d 2 y xν − x 3 2x 2 y 3 ν − 2x 4 y 2xyd 151 0 0 0 0 4yd 2xyd 0 2y 2 d 4y 2 d 0 0 4xyd 0 0 0 0 0 0 y 2 − νx 2 2xy 3 − 2νyx 3 0 0 y 3 − x 2 yν 2xy 4 − 2νy 2 x 3 νy 2 − x 2 2xνy 3 − 2yx 3 xνy 2 − x 3 2x 2 νy 3 − 2yx 4 0 0 y 4 + x 4 − 2νx 2 y 2 2yx 5 + 2xy 5 − 4x 3 y 3 ν 2xy 5 + 2yx 5 − 4x 3 y 3 ν 4x 2 y 6 + 4y 2 x 6 − 8x 4 y 4 ν 0 0 0 0 0 0 4xd 2x 2 d 0 dxdy 2xyd 4xyd 0 0 4x 2 d Annexe II * Forme développée après intégration analytique 0 0 0 0 0 E(z)dz 0 = 0 1 − ν2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H00 0 H01 νH00 νH10 0 H02 − νH20 2H13 − 2νH31 0 Avec : Hαβ = X α Y β dxdy 0 0 0 0 4dH00 2dH10 0 2dH01 4dH01 0 0 0 0 0 0 H01 2dH10 H02 + dH20 νH01 νH11 + dH11 2dH11 H03 − νH21 2H14 − 2νH32 4dH10 0 0 0 νH00 0 νH01 H00 H10 0 νH02 − νH20 −2H31 + 2νH13 2dH20 0 0 0 νH10 2H01 d νH11 + dH11 H10 H10 + dH02 2dH02 νH12 − H30 2νH23 − H41 2dH11 0 0 0 0 4dH01 2dH11 0 2dH02 4dH02 0 0 4dνH11 II-b / Elément fini de plaque mince « Pmi43 » * Forme générale 𝑝𝑚 𝐾0 = E z z2 d z 1 − ν2 0 0 0 1 x y xy 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2x ν 0 x2 0 1 0 x 2y y 0 xy y 2 0 1 ν 1 0 0 0 0 1−ν 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 x 0 0 y 0 2x xy 0 x2 0 1 0 152 0 x 2y 0 y 0 0 xy y2 0 0 dxdy 1 0 0 0 H02 − νH20 0 H03 − νH21 νH02 − H20 νH12 − H30 0 H04 + νH40 − 2νH22 2H15 + 2H51 − 4νH33 0 0 0 0 2H13 − 2νH31 0 2H14 − 2νH32 2νH13 − 2H31 2νH23 − 2H41 0 2H51 + 2H15 − 4νH33 4H26 + 4H62 − 8νH44 0 0 0 0 0 4dH10 2dH20 0 2dH11 4dH11 0 0 4dH20 Annexe II 0 𝑝𝑚 𝐾0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 E z z 2 dz 0 0 0 x x2 0 0 0 y xy 4x 2 d + y 2 1−ν 2 0 0 0 xy x2 y 2x 3 d + xy 2 x4 d + x2 y2 0 0 0 ν νx νy νxy 1 0 0 0 νx νx 2 xy(ν + 4d) x 2 y(ν + 2d) x 2 x + 4dy2 0 0 0 νy νxy νy 2 νxy 2 y xy y2 0 0 0 νxy νx 2 y xy 2 (ν + 2d) x 2 y 2 (ν + d) xy 2 x y + 2dy3 xy 2 x2 y2 + y4 d 0 0 0 0 0 2xd x 2 d dxdy 0 2yd 0 y2 d d * Forme développée après intégration analytique 0 𝑝𝑚 𝐾0 = E z z2 d z 1 − ν2 0 0 0 0 0 0 0 0 H00 0 0 0 H10 H20 0 0 0 H01 H11 4H20 d + H02 0 0 0 H11 H21 2H30 d + H23 H40 d + H22 0 0 0 νH00 νH10 νH01 νH11 H00 0 0 0 νH10 νH20 H11 (ν + 4d) H21 (ν + 2d) H10 H20 + 4dH02 153 0 0 0 νH01 νH11 νH02 νH12 H01 H11 H02 0 0 0 νH11 νH21 H12 (ν + 2d) H22 (ν + d) H11 H21 + 2dH03 H12 H22 + H04 d 0 0 0 0 0 2H10 d H20 d 0 2H01 d 0 H02 d H00 d Annexe II II-c / Elément fini de couplage coque mince « cpm» * Forme générale 𝑐𝑝𝑚 𝐾0 E z zd z 1 − ν2 = 0 0 0 1 0 𝑦 0 0 0 𝑦2 2xy 3 0 0 0 0 0 0 0 1 𝑥 0 −𝑥 2 −2𝑥 3 𝑦 0 0 0 0 0 2 1 𝑥 ν 0 𝑦 0 2𝑦 0 0 2𝑥 ν 1 0 0 0 0 1−ν 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 𝑥 0 0 𝑦 −2𝑥 0 xy −𝑥 2 0 0 0 1 0 −2𝑦 𝑥 0 0 𝑦 0 −𝑦 2 xy 0 −1 dxdy 0 * Forme développée avant intégration analytique 𝑐𝑝𝑚 𝐾0 E z zd z 1−ν 2 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 y ν xν 0 y 2 − νx 2 2xy 3 − 2νyx 3 0 0 0 0 0 0 0 x y − 2νx 0 0 xy y 2 − 2xyν νx νy − 2x x2 ν xyν − 2x 2 0 0 xy 2 − νx 3 y 3 − νx 2 y − 2νxy 2 + 2x 3 2x 2 y 3 − 2x 4 yν 2xy 4 − 2x 3 y 2 ν − 4x 2 νy 3 + 4x 4 y 0 0 0 0 0 xy − νx 2 0 xy 2 − x 2 yν νxy − x 2 x 2 yν − x 3 0 xy 3 − νx 3 y + x 4 − νx 2 y 2 2x 2 y 4 − 2y 2 x 4 ν − 2x 3 νy 3 + 2yx 5 0 154 0 0 0 0 0 0 0 −2yν 2d 2xd xd −2νy 2 + x 2 d 0 −2y yd −2xy + xyd 2yd 2xyd 0 −2νy 3 + 2x 2 y 0 −4xνy 4 + 4x 3 y 2 2xd 2x 2 d 0 0 0 0 0 0 0 −y 2 ν 2yd 2xyd xyd −y 3 ν + dx 2 y 0 −y 2 2 2 y d −xy + dxy 2 2 2y d 2xy 2 d 2 0 x y 2 − νy 4 0 −2νxy 5 + 2x 3 y 3 2xyd 2x 2 yd 0 0 0 −ν 0 −yν dxdy −1 −x 0 x 2 − νy 2 2yx 3 − 2xνy 3 0 Annexe II * Forme développée après intégration analytique 𝑐𝑝𝑚 𝐾0 = 0 0 0 0 0 E z zd z 0 1 − ν2 0 0 0 0 0 0 Avec : 𝐻𝛼𝛽 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H00 0 0 0 H01 0 νH00 0 νH10 0 0 0 H02 − νH20 0 2H13 − 2νH31 0 0 0 0 0 H10 0 H11 νH10 νH20 0 H12 − νH31 2H23 − 2νH41 0 0 0 0 H01 − 2νH10 0 H02 − 2H11 ν νH01 − 2H10 νH11 − 2H20 0 H03 − νH21 − 2νH12 + 2H30 2H15 − 2νH32 − 4νH23 + 4H41 0 0 0 0 H11 − νH30 0 H12 − νH21 νH11 − H20 νH21 − H30 0 H13 − νH31 + H40 − νH22 2H24 − 2νH42 − 2νH33 + 2H51 0 0 0 0 0 2d dH10 0 dH01 2dH01 0 0 2dH10 0 0 0 −2νH01 2dH10 −2νH02 + dH20 −2H01 −2H11 + dH11 2dH11 −2ν + 2H21 −4νH14 + 4H32 2dH20 0 0 0 0 2dH01 dH11 0 dH02 2dH12 0 0 2dH11 𝑋 𝛼 𝑌𝛽 𝑑𝑥𝑑𝑦 II-d / Elément fini de plaque épaisse « Pep43 » * Forme générale 𝑝𝑒 𝐾0 = E z z2 d z 1 − ν2 0 0 0 1 y 0 0 0 y 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 x 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 x 2 0 0 x 0 0 0 0 0 0 −y 2 0 0 0 0 0 −x 2 0 0 0 0 0 y 0 0 0 0 1 0 0 1 ν 1 0 0 0 d 0 0 0 0 0 0 1 ν 0 0 0 0 6k(1 − ν) h2 0 0 0 0 1 y 0 0 0 y 2 0 0 0 0 0 1 x 0 0 0 6k(1 − ν) 0 0 h2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −x 2 0 0 0 0 −y 2 0 1 0 0 x 0 0 0 0 0 0 155 0 x 2 y 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 dxdy 0 0 0 −νH02 2dH11 −νH03 + dH21 −H02 −H12 + dH12 2dH12 H22 − νH04 −2νH15 + 2H33 2dH21 0 0 0 −νH00 0 −νH01 −H00 −H10 0 H20 − νH02 2H31 − 2νH13 0 Annexe II * Forme développée avant intégration analytique 0 0 0 0 𝑝𝑒 𝐾0 = E z z 2 dz 1−ν 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 y 2 4 0 0 0 ν 0 1 x 0 x x 2 + Ay4 0 0 d 0 0 y y + Ax 0 0 0 0 0 0 ν xν νy 0 0 0 0 0 y y2 y 2 νx 2 νxy 2 x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 −Ax 2 0 0 0 0 νxy 0 xyν 0 0 0 νx yν 0 ν 2 0 0 xy ν xd 2 x2 yd 2 −Ay 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 νx y 2 y2 2 xy ν 2 νy 2 x 2 x2 2 xy ν 2 2 xd y2 4 νxy 4 + x2 d + xyd 0 0 yd xy ν 4 x2 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −Ax 2 0 −Ay2 0 0 0 0 + xyd 0 0 + y2 d 0 0 A 0 0 A 0 0 156 dxdy Annexe II * Forme développée après intégration analytique 𝑝𝑒 𝐾0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H00 H01 0 0 H01 H02 + AH40 H10 ν 0 0 H00 ν 0 E z z2 d z 0 1 − ν2 0 0 0 H10 0 0 νH01 H00 0 H00 ν νH11 H10 H20 + AH04 0 0 0 0 H01 2 νH10 2 0 0 0 H02 2 νH11 2 0 −AH20 0 νH01 2 H10 2 0 0 0 H11 ν 2 H20 2 −AH02 0 dH00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H10 ν H01 ν H11 ν 0 0 0 H01 2 H02 2 νH01 2 H11 ν 2 H10 d 0 0 0 H10 ν 2 H11 ν 2 H10 2 H20 2 H01 d H11 ν + H11 d 4 H20 + H02 d 4 0 0 H02 H10 d + H20 d 4 νH11 H01 d + H11 d 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −AH20 0 0 −AH02 0 0 0 0 0 0 0 AH00 0 0 AH00 II-e / Elément fini de couplage coque épaisse « cpe » * Forme générale 𝑐𝑝𝑒 𝐾0 = E z zd z 1 − ν2 0 0 0 1 0 y 0 0 0 y2 2xy 3 0 0 0 0 0 0 0 1 x 0 −x 2 −2x 3 y 0 0 0 0 0 2 x 0 y 2y 0 0 2x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ν 0 ν 1 0 0 0 d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6k(1 − ν) h2 0 157 0 0 0 1 y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 x −1 0 y 2 −x 6k(1 − ν) 0 0 h2 0 0 0 0 0 0 0 −x 2 0 0 −y 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −y x 2 0 0 0 0 0 0 dxdy 1 0 0 1 Annexe II * Forme développée avant intégration analytique 𝑐𝑝𝑒 𝐾0 = 𝐸 𝑧 𝑧𝑑 𝑧 1−𝜈 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2d 2xd 2 xd 2 x d 0 0 0 y y 0 0 0 0 0 0 xν νy 0 0 ν xyν yd xyd 0 0 0 0 0 2yd 2xyd 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y 2 − νx 2 2xy 3 − 2νyx 3 0 y 2 − νyx 2 2xy 4 − 2νx 3 y 2 0 0 0 0 0 2xd 2dx 2 0 0 0 −ν 0 0 0 y − xν 0 0 0 −yν 2 0 0 y2 −νy xy 2 0 −νy 2 + x 2 2 −2xνy 3 + 2yx 3 0 − x 2 yν 2 2 3 0 0 0 0 0 dxdy 0 0 xyd 0 0 −νy 3 + x 2 y 0 0 0 0 0 0 ν − x2 −xy + 2 −x −y 0 y3 0 xd −νy + 2 −x 0 0 0 0 − νxy 2 νy −1 0 0 0 0 + x 3 − νxy 2 xy 4 − νy x − 2x 2 νy 3 + 2yx 4 0 x2 2 xy 2 d d −2xνy 4 + 2x 3 y 2 x2 d * Forme développée après intégration analytique 𝑐𝑝𝑒 𝐾0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H00 H01 0 0 0 0 0 0 0 2H00 d 2H10 d −νH00 0 E z zd z 1 − ν2 0 0 0 H01 H02 H10 d H20 d 0 0 0 0 0 νH01 0 0 νH00 H01 d H11 d 0 0 0 0 0 2H01 d 2H11 d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H02 − νH21 0 2H10 d 0 2dH20 x 2 νH10 H02 − νH21 2H13 − 2νH31 0 νH11 2H14 − 2νH33 0 158 0 −νH01 −H00 −H10 ν 0 −νH02 + H20 −2νH13 + 2H31 0 0 0 0 H01 − H10 ν 2 0 H02 − νH11 2 νH01 − H10 2 H11 ν − H20 2 0 H03 H21 ν − + H30 − νH12 2 2 H14 − νH32 − 2H23 ν + 2H41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −H01 ν 0 0 0 0 0 0 0 0 −H11 + 0 0 0 0 −νH03 + H21 0 0 0 0 0 0 H10 d H20 −νH02 + d 2 −H01 H11 d 2 H11 d −2H14 ν + 2H32 H20 d Annexe II A= 6k(1 − ν) h2 d= 1−ν 2 159 Annexe III ANNEXE III – Structure type de la matrice de rigidité de l’élément coque FGM 𝑲𝒆 au niveau élémentaire construire dans le système d’axes des coordonnées locales Nœud 1 U1 V1 W1 βx1 βy1 θz1 U2 V2 W2 βx2 βy2 θz2 U3 V3 W3 βx3 βy3 θz3 U1 V1 W1 M11 M12 M22 MF11 MF21 F11 βx1 MF12 MF22 F12 F22 Nœud 2 βy1 MF13 MF23 F13 F23 F33 θz1 M13 M23 FM13 FM23 FM33 M33 U2 M14 M24 FM14 FM24 FM34 M34 M44 V2 M15 M25 FM15 FM25 FM35 M35 M45 M55 W2 MF14 MF24 F14 F24 F34 MF34 MF44 MF54 F44 Mij : Terme de rigidité membranaire ; Fij : Terme de rigidité flexionnelle ; FMij et MFij : Terme de la rigidité de couplage. 160 βx2 MF15 MF25 F15 F25 F35 MF35 MF45 MF55 F45 F55 Nœud 3 βy2 MF16 MF26 F16 F26 F36 MF36 MF46 MF56 F46 F56 F66 θz2 M16 M26 FM16 FM26 FM36 M36 M46 M56 FM46 FM56 FM66 M66 U3 V3 W3 M17 M27 FM17 FM27 FM37 M37 M47 M57 FM47 FM57 FM67 M67 M77 M18 M28 FM18 FM28 FM38 M38 M48 M58 FM48 FM58 FM58 M68 M78 M88 MF17 MF27 F17 F27 F37 MF37 MF47 MF57 F47 F57 F67 MF67 MF77 MF87 F77 βx3 MF18 MF28 F18 F28 F38 MF38 MF48 MF58 F48 F58 F68 MF68 MF78 MF88 F78 F88 βy3 MF19 MF29 F19 F29 F39 MF39 MF49 MF59 F49 F59 F69 MF69 MF79 MF89 F79 F89 F99 θz3 M19 M29 FM19 FM29 FM39 M39 M49 M59 FM49 FM59 FM69 M69 M79 M89 FM79 FM89 FM99 M99